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1、几何变换中的半角旋转问题例题：已知：AABC是等腰直角三角形，ZACB=90Q，M,N为斜边AB上两点，如果ZMCN=45°.求证：AM2+BN2=MN2变式h由此问题可以产生如下问题.△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°，M，N为斜边AB上两点，满足AM2+BN2=MN2.求ZMCN的度数.是上面例2的逆问题，建议利用图形的旋转.变式2:正方形ABCD中，边长为4，点E在射线BC上，HCE=2,射线AM交射线BD于N点，且ZEAN=45°，则BN的长为_3__^5。方法1:图1:正方形的边长为4，BD=4,AE=2,由AAODmABOE，
2、相似比为2:1,贝ljBO=，设ON=x，DN=-x，由旋转得：OB2+DN2=ON2，...x=图2图3方法同上方法2:用旋转相似来解BC变式3:如图1,在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形AABC和AAFG摆放在一起，A为公共顶点，ZBAC=ZAGF=90°，它们的斜边长为2,若AABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF，AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合，点E不与点C重合)，设BE=m，CD=n.(1)求ni与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；(2)以AABC的斜边BC所在直线为x轴，BC边上的高所在直线为y轴，
3、建立平面直角坐标系(如图2)。在边BC上找一点D,使BD=CE,求出D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2;(3)在旋转过程中，(2)中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由。VA学生卷例题：己知：AABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,M,N为斜边AB上两点，如果ZMCN=45°.求证：AM2+BN2=MN2变式h己知：AABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,M,N为斜边AB上两点，满足AM2+BN2=MN2.求ZMCN的度数.变式2:已知：正方形ABCD中，边长为4,点E在射线BC
4、上，且CE=2,射线AM交射线8卩于~点，且ZEAN=45°,则BN的长为变式3:如图1,在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形AABC和AAFG摆放在一起，A为公共顶点，ZBAC=ZAGF=90°，它们的斜边长为2,若AABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF，AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合，点E不与点C重合)，设BE=m,CD=n.(1)求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；(2)以AABC的斜边BC所在直线为x轴，BC边上的高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图2)。在边BC上找一点D,使BD=CE,求出
5、D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2;(3)在旋转过程中，(2)中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由。yA1.如图①正方形ABCD中，以A为顶点做ZPAQ=45°，AP,AQ分别交直线BC,CD于E,F。(1)求证：ACEF的面积=正方形ABCD的面积(或者问AC,CE,a/CF三者的数量关系)G/(2)把ZPAQ绕点A旋转到如图②所示的位置时，设此时AQ的反昀延长线交直线CD于F,(1)中的结论是否还成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，试说明理由。(3)在(2)的条件下，若设A
6、Q交直线BC于G，若BG=3,BF=2,求EF的长。(提示在2页)n己知正方形ABCD,一等腰直角三角板的一个锐角顶角与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC,CD于M，N(1)当M,N分别在边BC,CD上时，如图1,求证：BM+DN=MN(2)当M,N分别在边BC，CD所在的直线上(如图2,3)时，线段BM，MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论。(3)在图屮，作直线BD交直线AM，AN于P,Q两点，若MN=10，CM=8,求AP的长.AD
