中考数学复习指导：分类思想在相似三角形中的应用

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1、分类思想在相似三角形中的应用分类思想是化整为零、分别对待、各个击破的一种思维策略，是数学思想屮的一种重要的思想方法，现举例说明分类思想在相似三角形中的应用.一、对应角不确定A例1、如图所示，ZA=50°,ZB=60°,一直线/与ZXABC的边AC.AB边相交于点D、E两点,当ZADE为多少度时，△ABC与/ADE相似.分析：根据三角形的内角和可知ZC=70°,ZA是△ABC和△ADE的公共角，显然是对应角.当=或当ZADE=ZB,那么△ABC与△ADE相似.解：(1)当ZADE=ZC=70°时，AABCs/UED(2)当ZADE=ZB=60(,时，/ABC^^ADE

2、.所以当ZADE等于70°或60°时厶ABC与△/!£>£相似.二、对应边不确定过P点的直线交AB例2如图1所示，在AABC中，AB=6,AC=4,P是AC的中点,于点Q,若以4、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为(C)3或3(D)-43(4)3(B)3或牛图2图3图1图2分析：由于以A、P、0为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形有一个公共角ZA,AQ的对应边是AB或AC,所以过点P的直线PQ应有两种作法.解：⑴如图2,过点户作PQHBC,这时△AQPs^abC,则些二竺，可求的AQ=3;ABAC(2)如图3,过点P作交AB于Q,这时

3、△APQ^AABC,于是有些=竺，可求AQ=-f故选(B)・ACAB3三、对应顶点不确定例3、如图(1),己知ZC=90°,D是AB上一点，在AC或BC上找一点£,使新形成的三角形与Rf/XABC相似，则满足条件的点E有几个？分析：D点的对应点可能是B点，也可能是C点，也可能是A点.解：如图所不，①过D作D&丄AC于则厶AD&s/xabC,②②过£＞作£＞艮丄AB交AC于艮，则厶ADE2^/ACB.③③过D作£＞艮丄BC于伤，则厶DBEsS^ABC.所以满足条件的点E共有3个.四、对应高不确定例4、在△ABC中，ZB=25。，AD是BC边上的高，并且A”=BD•DC,则

4、ZBCA的度数为.分析：本题一方血考查相似三角形的识别方法和性质，另一方面考查分类讨论的思想方法.由于题目没有确切告知△4BC的形状，所以BC边上对应的高4D可能在AABC内，也可能在△ABC外.解:(1)当高AD在/xABC内时，如图1,因为AD2=BDDC,所以—=—,又ZADB=ZCDA,所以△ADBs/CD4,所以BDADZBAD=ZACD,又ZB=25°,故ZBCA=ZBAD=65°.(2)当高AD在△ABC外时，如图2,同理可知△ADBs/CD4,所以ZABD=ZCAD=25°f所以ZACZ>65°,所以ZBCA=180°-ZACZ>115°.故应填65。

5、或115。・用分类讨论思想解相似图形难题所谓分类讨论思想就是根据问题可能存在的多种情况进行讨论，防止出现漏解的一种数学思想.它能使同学们的思维日趋严谨。它的应用大致可分为四个步骤：(1)确定分类对象；(2)合理进行分类；(3)逐步进行讨论；(4)归纳讨论结果，得出正确结论.下面举几例说明分类讨论思想在相似图形中的应用.例1已知a、b、c为非零实数，且满足竺=凹=巴±£=£,则一次函数acb丿=匕+(1+灯的图象一定经过().A第一、二、三象限B第二、四象限C第一象限D第二彖限分析：本题主要考察一次函数图象性质的灵活应用，但如果思维不周的话，就容易漏掉a+b+c=0的情形，

6、因此可按a+b+c=O和a+b+cH0两种f青况讨论.解：(1)当a+b+c=0时，k=^-=—=-l,此时y=图象过笫二、以象bb限；(2)当a+b+cHO时，应用等比性质可以得出：r=/+"+/+M=2,此时歹=2兀+3的图象过第一、二、三象限，结合两种d+C+/?情况，函数图象一定过笫二象限，故选D例2己知线段a=lcm,b=2cm,c=3c〃,若第四条线段与它们成比例式，则这样的线段有几条？分析：因为笫四条线段大小不定，所以应用分类讨论思想，利用比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，把分类点定为让第四条线段分别与三条线段相乘，既可得到正确答案.解：设第四条线段

7、为么让d分别与1、2、3相乘，得21xd=2x3,6?=6cm,2xd=1x3,d=1.5cm,3xd=1x2,〃=亍",所以这样的2线段有三条，分别为6cm,1.5cm,—cm.3例3三角形一条高分这个三角形为两个相似三角形，那么这个三角形为().4直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形分析：因为只知道两个三角形相似，并没有指定顶点间的对应关系，所以存在多种可能,所以可以把分类点定在顶点对应上.图2解：（1）已知AD丄如图（1）所示，若厶ABD^/XACD,则有ZB=ZC,所以AB=AC,所以AABC