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《中考数学复习指导：利用勾股定理确定最短问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、利用勾股定理确定最短问题我们知道，两点之间线段最短，但这两点之间的距离往往要通过适当的知识求出其大小，现介绍一种方法，用勾股定理确定最短问题.例1如图1,长方体的长为15，宽为10,高为20,点£离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点力爬到点B,需要爬行的最短距离是（）分析根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”，蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,较短爬行路线有如图2所示的4条粗线段表示的距离.可以通过计算得知最短的是第2条.解依题意蚂蚁要沿着长方体的表面从点力爬到点B,有如图2所示的4种粗线情形，其中图①中粗线的长度为的居+3$二5后，图②中粗
2、线的长度为的V152+202=25,图③中粗线的长度为的V102+202+5=10a/5+5,图④中粗线的长度为的5+20+10=35,显然35>5a/37>10亦+5>25.故应选B.说明在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形，即转化为表面展开图来解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论.例2如图1,长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点力开始经过4个侧面缠绕一圈到达点3,那么所用细线最短需要cm;如果从点力开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要cm.分析要求最短细线的长，得先能确定最短线路
3、，于是，可画岀长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短，结合勾股定理求得.若从点力开始经过4个侧面缠绕77圈到达点B,即相当于长方体的侧面展开图的一边长由3+14-3+1变成/X3+1+3+1），同样可以用勾股定理求解.解如图2,依题意，得从点力开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B时，最短距离为力3,此时，由勾股定理，得AB=a/62+82=10,即所用细线最短为10cm.若从点力开始经过4个侧面缠绕n圈到达点3,则长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成/X3+1+3+1），即8〃，由勾股定理，得后匚丽7=J36+64屛,即所用细线最短为丁36+64川cm,或2丁
4、9+16/?cm.说明对于从点力开始经过4个侧面缠绕n圈到达点3的最短细线不能理解为就是n个底面周长.例3在某段限速公路EC上（公路视为直线），交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米/时（即聖米/秒），并在离该公路100米处设置了一个监测点4在如图所示的直角坐标系中，点力位于F轴上，测速路段3C在x轴上，点&在力的北偏西60。方向上，点。在力的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y轴上，力。为其中的一段.（1）求点3和点C的坐标；(2)一辆汽车从点3匀速行驶到点C所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？(参考数据：術日.7)(3
5、)若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由力处向分析(1)要求点3和点C的坐标，只要分别求出03和OC即得.(2)由(1)可知BC的长度，进而利用速度公式求得并与也比较即可.(3)为了求解，可设大货车行驶到某一时刻行驶了x米，则此时小汽车行驶了2"米，于是利用勾股定理可求出"的表达式进而求得.解(1)在Rt/AOB中，因为Z少10=60。，所以ZABO=30°,所以OA=-AB,而04=100，所以AB=200,由勾股定理，得08=JAB?—OA1=V2002-1002=100^3.Rt/AOC中，ZC4O=45°,所以OC=0/4=100
6、,所以8(・100^3,0),C(100,(2)因为BC-B(XCO-100V3+100,所以1OOV3+1OO=18>5O153所以这辆车超速了.(3)设大货车行驶到某一时刻行驶了x米，则此时小汽车行驶了2x米,且两车的距离为尸J（100-兀「+（100-2兀）2=丁5（兀_60）2+2000，显然，当%=60时，上有最小值是血而二20厉米，即两车相距的最近距离为20^5米.说明本题在求最近距离时，一定要注意正确理解代数式的意义，注意到（x・60尸的最小值是0.例4恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（力）和世界级自然保护区星
7、斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，MB=50km,A3到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A3两景区运送游客•小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图（MP与直线X垂直，垂足为P）,P到力、夕的距离之和SbPA+PB,图2是方案二的示意图（点力关于直线X的对称点是彳，连接少T交直线X于点P）,P到4呂的距离之和Sz二PA+PB.（1）求®、$,并比较它们的大小；（2）请你说明仝二PA+PB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路丫与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，3到直线丫的距离为30k
