《利用勾股定理解决最短路径问题》教学设计

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1、《利用勾股定理解决最短路径问题》教学设计教材分析本节课是最短路径问题的延续和拓广，不但要寻找最短路径，还要计算其长度。在初中阶段，求解两点之间的距离问题多借助勾股定理进行计算，在中考中占有一定地位．而勾股定理是直角三角形非常重要的性质，有极其广泛的应用。勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，是几何图形和数量关系之间的一座桥梁．学情分析学生在初一上学期学习线段相关知识时已掌握“同一平面内，两点之间，线段最短”，初二上学期学习轴对称一章时，又接触了最短路径问题，因此对最短路径问题有一定的理解。分类讨论一直都是学

2、生觉得比较难掌握的思想方法，分类不清、分类不全是学生经常犯的错误．教学目标知识目标能运用勾股定理求最短路径问题能力目标学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．情感目标通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学，增强自信心，体现成功感．教学重点探索、发现立体图形展开成平面图形各种途径，利用勾股定理求最短路径问题．教学难点利用数学中的建模思想构造直角三角形，寻

3、找不同路径，利用勾股定理，解决实际问题．教学过程教学环节教学内容教学活动学生活动设计意图复习巩固1．如图，在Rt△ABC中，，AC=4，BC=2，则AB=．2．如图，小华的家在A处，书店在B处，星期日小明到书店去买书，他想尽快的赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（　　）A．B．C．D．引导学生复习利用勾股定理计算三角形的边长．引导学生回顾同一平面内，两点之间线段最短的知识．学生回顾勾股定理和两点之间线段最短的知识．帮助学生温故知新5探究问题类型一：圆柱体中的最短路径1．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA

4、1的端点A到达A1，若圆柱底面半径为，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离是．132．如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，.沿着圆柱的侧面爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短路程是．（π的值取3）变式一：将“侧面”改为“表面”，求蚂蚁爬行的最短路程．变式二：再将“高为8cm”改为“2cm”，求蚂蚁爬行的最短路程．解决圆柱体中的最短路径问题的步骤：类型二：正方形中的最短路径如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是．变式：如图，边长为1的正方体中，

5、一只蚂蚁从棱的中点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是．提问：怎样确定平面上两点间的最短距离？立体图形上的最短距离问题如何解决？引导学生寻找关键点．引导学生根据不同的条件选择不同的路径．引导学生思考最短距离怎么体现．怎样计算最短距离？引导小结结圆柱体中计算最短距离要注意的问题．提问：正方体由几个面组成？这些面有什么关系？正方体怎么展开？至少需要展开几个面？学生审题，思考并作答指明圆柱体、正方体上的数量和展开图上的数量之间一一对应关系，以及如何利用勾股定理进行计算由有趣的实际问题引入，激发学生学习兴趣．启

6、发学生把立体图形展开成平面图形，并用平面图形的知识来解决立体图形中最短距离问题．注重路径的多样性，渗透分类讨论思想．使学生体会数学上的转化思想．通过先寻找“关键点”，再找到不同路径，最终在直角三角形内利用勾股计算最短距离这一过程，使学生再次领悟任何一个几何图形都是由基本元素“点”，“线”，“面”构成，回归几何的本真！5类型三：长方体中的最短路径如图，长方体长、宽、高分别为5cm、3cm、4cm．一只蚂蚁从顶点A出发沿表面爬到顶点B．求蚂蚁经过的最短路程．小结：解决路径最短问题的依据是．也就是将曲面或多面体展成一个

7、面，然后连接需求最短路径的两点，构造三角形，用勾股定理的数学模型去解决．解决最短路径问题四部曲1．展（立体展平面）2．找（找各种路径）3．算（算各种路径的长度）4．比（比较各种路径的长度）类型四（拓展提高）：与物体表面和内部相关的最短路径如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时已知蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是．引导学生思考长方体与正方体有何区别？为什么长方体有六种展开方式？（长，宽，高的组合），为什么排除后只

8、有三种？（重复）引导学生小结解决立体图形上的两点之间最短路径问题的步骤引导学生将此问题与利用轴寻找最短路径的问题相结合．在教师引导下，学生对六种展开方式分析排除，最终归纳出三种方式计算比较得出最短距离．总结归纳做题的步骤将曲线化直线，将此问题转化为利用轴对称解决最短路径问题．在圆柱体的基础上提升难度，变为正方体，再变为长方体，引导学生由浅入深，认识到要解决立体图形上的最短