中考冲刺：数形结合问题2

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1、中考冲刺：数形结合问题2【中考展望】1.用数形结合的思想解题可分两类：(1)利用儿何图形的直观性表示数的问题，它常借用数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究儿何图形问题，常需要建立方程(组)或建立函数关系式等.2.热点内容：在初中教材中，数的常见表现形式为：实数、代数式、函数和不等式等，而形的常见表现形式为：直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数的图象对应着一条直线，二次函数的图象对应着一条抛物线，这些都是初屮数学的重要内容.特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思

2、想方法在中学数学中得到最充分体现.在平面直角坐标系屮，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a,b,c密不可分.事实上，数a决定抛物线的开口方向，b与a—起决定抛物线的对称轴位置，c决定了抛物线与y轴的交点位置，与a、b一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线的平移的图形关系只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是b、c的大小变化.【方法点拨】数形结合：就是通过数与形之I'可的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的

3、直观”之长，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学方法.数形结合问题，也可以看作代数儿何综合问题.从内容上来说，是把代数屮的数与式、方程与不等式、函数，儿何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也会融入开放性、探究性等问题.经常考查的题目类型主要有坐标系屮的儿何问题(简称坐标儿何问题)，以及图形运动过程中求函数解析式的问题等.解决这类问题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题H的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题；第三，要善于联系与转化，进

4、一步得到新的结论•尤其要注意的是,恰当地使用综合分析法及方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题.【典型例题】类型一、利用数形结合探究数字的变化规律C1.如图，网格中的每个四边形都是菱形.如果格点三角形"PC的面积为S,按照如图所示方式得到的格点三角形的面积是7S,格点三角形hBG的面积是195,那么格点三角形仏G的面积为().A.39SB.36SC.37SD.43SB3【思路点拨】设网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于ABC的面积为S,则小菱形的血积为2S；从图上观察可知三角形A2B2C2

5、三个顶点分别在边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点在与前一顶点不相连的两边上，三角形三顶点分别在边长为(2n+l)个单位的菱形的内部，此菱形与三角形ARG不重合的部分为三个小三角形；由此得到关于三角形A“BC面积公式，把n=3代入即可求11!三角形ABC的面积.【答案】C.【解析】网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于ABC的面积为S,则小菱形的面积为2S；从图上观察可知三角形他BC三个顶点分别在边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点在与前一顶点不相连的两边上，三角形三顶点分别在边长为2n+l个单位的

6、菱形的内部，此菱形与三角形AnBnCn不重合的部分为三个小三角形；而三角形面积二边长为2门+1个单位的菱形面积-三个小三角形面积=2S⑵+1)2_0+1)"x2s_(2〃+1)xG+1)x2s「xG+1)x2$,222=S(8n2+8n+2-2n2-n-2n2-3n-l-n2-n),=S(3『+3n+l),把n=3分别代入上式得:S3=S(3X32+3X3+1)=37S.故选C.【总结升华】此题主要考查菱形的性质，也考查了学生的读图能力以及探究问题的规律并有规律解决问题的能力.举一反三：【变式】(2016・潍坊)在平面直角坐标系中，直线1：y

7、二x・1与x轴交于点A】，如图所示依次作正方形A

8、B

9、CQ、正方形A2B2C2C!正方形AnBnCnCn-i，使得点A】、A2.A,...在直线1上，点C】、C2>【答案】(2n_1,2n-1)【解析】解：Ty^x・1与x轴交于点A(,・・・A

10、点坐标(1,0),・・•四边形A.B.CiO是正方形，・・・Bi坐标(1,1),・・・C]A2〃x轴,・・・A2坐标(2,1),・・・四边形A2B2C2C]是正方形，・・・B2坐标(2,3),VC2A3/7x轴，・・・A3坐标(4,3),・・・四边形A3B3C3C2是正方形,AB3(4,7),VBi(

11、2°,21-1),B2(21,2—1),B3(22,23-1),・・・Bn坐标(2"J,2n-1).类型二、利用数形结合解决数与式的问题2.已知实数a在数轴上的位置