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1、怎样利用相似形解几何综合题第40讲„.怎样利用相似形解几何综合题几何综合问题是综合三角形全等、三角形相似、四边形和圆、三角函数、函数等有关知识的问題，在近年全国各地中考试卷中占有相当大的分虽•这类问題的主要特点是包含的知识点多、逻辑关系复杂、解法灵活，考査学生分析、探究问题的能力，综合应用数学知识解决实际问题的能力•大多数几何综合题渗透了数学思想（数形结合思想、分类思想、方程思想、函数思想）.BQ例1如图1，在矩形ABCD中点P、Q分别为AD、RC边上的动点■点P从点X出发以1CH1/S的速度向点D运动，点Q从点c出发以2cm/s的速度向点B运动，若AB=14cm,
2、AD=21cgP、Q两点同时出发•设运动时间为I矢那么⑴当与△0CQ相似时，求t的值.（2）当AB的中点E到PQ的距离为7cm图1时，求I的值.简析第（1）小題，先找出两个三角形相似时的对应边、轴，利用相似三角形的对应边成比例列方程求出i的值;第（2）小題把问題转化成直线与圆柯切的问題，找出一些相寻线段，再用相似三角形的性质列才程，求出t的值.解⑴由题意知AP=tcm,CQ=2tcm(t>0).因为/IP求CQ,AB=CD,ZA—妙•所以厶ABPS^CQD,所以场=為所以荃~缶所以“二7x14/=±7厶因为I>0,所以I=7^2,:=■7厲(舍去)答:f的值为7"s
3、.⑵连结EP、EQ,因为AE=EB=EF=7c叫所以以点E为心的OE与AD、BC、PQ分别相切于点/!、〃』,所以由切线长定理知廿=tcm,BQ=QF=(21-2t)cm.PE-PE在RtAAPf和RtAFPE中「，所以RQ.4PEQRQFPE,所PA=PF以ZPEA=ZPEF・同理可证乙QEFxZQEB、所以"EQ=9(F,因为/EFP二ZQFE=90ZPEF=ZEQF,所以△EFPSAQFE,所以特=算即EF2=PF・FQ■所以72xf(21-心所以t=心严(舍)，f=2、「严答汀的值为红尹8.评析(1)证明两个三角形相似的方法有：①两个角对应相等,则两个三角
4、形相似；②两边对应成比例且夹角相等,则两个三角形相似；③三边对应成比例，则两个三角形相似；④如果一个直角三角形的龄边和一条克角边与另一个直角三角形的轩边和一条直角边对应成比例，则两个宜角三角形相似.(2)两个三角形相似的性质有：①相似三角形的对应角相等；②相似三角形的对角边成比例，对应边上的特殊线段成比例；③相似三甬形的面积比等于相似比的平方.变式训练如图2,在平行四边形ABCD中,ZDBC=45P.DE丄丄CD,垂足分别为E、F、BF、DE交于点PF、肋的延长线交于点G.(1)求证：AB=BH.(2)若DF、FC分别是方程以-(且弟二考，求/H的值.(3)在⑵的条
5、件下，求平行四边形ABCD的面积.简析(1)利用两个三角形全等证明AR=BH.(2)利用相似三角形的有关知识把翔晋转化为等=考，再由根与系数关系列出关于DF、FC的两个方程，最后解关于DF、FC、m的三元二次方稅，求出m的值.(2)利用△DFHS4BFC,求出HF,再束出平行四边形MCD的面积.答案：(2)m=3(3)平行四边形ABCD的面积等于30.例2已知，如图3,△EEC内接于O0,AD平分ZB4C交BC于点几交©0于点D,DE切。0于点。，与AC的延长线相交于点E,BD=3“,DE+CE=6,AB:AC=3:2,求的长.D图3简析由巳知条仲推不出某个角为直角
6、，田形中有很多相似三角形和切割线，所以可能用相似三角形的有关知识和与圆的有关知识解连结C6因为AD平分ZBAC,所以ZBAD=ZCAD,因为DE切于点0,所以ZCDE=ZDAC,所以ZCDE=ZBAD，因为四边形ABDC内接于00,所以ZDCE=ZABD，所以△DCES“ABD，所以焉二器，所以C—型評，因为ZBAD=ZEAD,所以他二CD•因为AB:AC=3:2,设AB=3x,AC=2篇，所以CE=(3护)=3xxDE+CE二6,所以D£=6-CE=6-仓,因为DE是O0切线,EG4是X割线，所以DE2=CE•AE=CE(4C+CE),即(6・»=^(2x+解得％
7、=3,所以DE=6--二4,因为ZCDE=ZDAC=ZDBC2E=XZADB=ZACF,所以△BDFSjEC,所以帶=腿，所以BF=盟=©炉="I■，所以BF的长为号.评析在巳知条件中没有直角三角形或者由已知条件推不出克角三角形，一般悄况下就不用勾股定理求线段，而利用相似三角形有关知识求线段的长.相似三角形综合题”的解答C在三角形ABC屮，ZC二90°,ZA=60°,AC二2厘米，长为1厘米的线段MN在AABC的边AB上沿着AB的方向以1厘米/秒的速度向点B运动(运动前点M与点A重合)，过M、N分别作AB的垂线交直角边于点P、Q,线段MN运动的时间为t秒，(1)
