（江苏专用）2020版高考数学复习第七章不等式、推理与证明、数学归纳法7.6直接证明与间接证明教案

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1、§7.6　直接证明与间接证明考情考向分析　高考要求了解分析法、综合法、反证法，会用这些方法处理一些简单问题，高考一般不单独考查，会与其他知识综合在一起命题．1．直接证明(1)定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法．(2)一般形式⇒A⇒B⇒C⇒…⇒本题结论．(3)综合法①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为综合法．②推证过程⇒…⇒…⇒(4)分析法①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事

2、实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．②推证过程⇐…⇐…⇐2．间接证明(1)常用的间接证明方法有反证法、同一法等．(2)反证法的基本步骤①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．概念方法微思考1．直接证明中的综合法是演绎推理吗？提示　是．用综合法证明时常省略大前提．2．综合法与分析法的推理过程有何区别？提示　综合法是执因索果，分析法是执果索因，推理方式是互逆的．3．反证法是“要证原命

3、题成立，只需证其逆否命题成立”的推理方法吗？提示　不是．反证法是命题中“p与綈p”关系的应用．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(　×　)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　×　)(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a

4、最合适的方法是分析法．(　√　)题组二　教材改编2．[P87习题T2]若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是______．答案　P>Q解析　P2＝2a＋13＋2，Q2＝2a＋13＋2，∴P2>Q2，又∵P>0，Q>0，∴P>Q.3．[P87习题T7]设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，则＋＝________.答案　2解析　由题意，得x＝，y＝，b2＝ac，∴xy＝，＋＝＝＝＝＝＝＝＝2.题组三　易错自纠4．若a，b，c为实数，且a

5、(填序号)①ac2ab>b2；③<；④>.答案　②解析　a2－ab＝a(a－b)，∵a0，∴a2>ab.(*1)又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，(*2)由(*1)(*2)得a2>ab>b2.5．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是________________．答案　方程x3＋ax＋b＝0没有实根解析　方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根．6．如果△A1B1C

6、1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A2B2C2是__________三角形．答案　钝角解析　由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形．由得那么，A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为π相矛盾．所以假设不成立．假设△A2B2C2是直角三角形，不妨设A2＝，则cosA1＝sinA2＝1，A1＝0，矛盾．所以△A2B2C2是钝角三角形．题型一　综合法的应用1．已知m>1，a＝－，b＝－，则a，b的大小关系为________．答

7、案　a＋>0(m>1)，∴<，即aa＋b成立，则a，b应满足的条件是__________________________．答案　a≥0，b≥0且a≠b解析　∵a＋b－(a＋b)＝(a－b)＋(b－a)＝(－)(a－b)＝(－)2(＋)．∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(－)2(＋)>0.∴a＋b>a＋b成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.3．若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.证明　∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴≥>0，≥>

8、0，≥>0.由于a，b，c是不全相等的正数，∴上述三个不等式中等号不能同时成立，∴··>abc>0成立．上式两边同时取常用对数，得lg>lg(abc)，∴lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.4．已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证：(1)＋＋≤；(2)＋＋≥.证明　(1)∵(＋＋)2＝(a＋b