专题61利用导数研究函数的单调性-2018年高考数学备考

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1、1.已知函数f(x)=ex+ax2(aGR,e为自然对数的底数).e(1)当a=求函数f(x)的单调区间；2(2)若f(x)>x+1在Xno时恒成立，求实数a的取值范围.1【答案】(1)见解析；(2)［--,+°°)2【解析】试题分析：(1)对函数进行求导可得f'(x)=ex-ex，对导函数再次进行求导得导函数的单调性，即可得其最小值为g(l)=O,即f'(x)>0恒成立，故而可得其结论；(2)令h(x)=f(x)-(x+l),对h(x)进行求导得.11h(x)=ex+2ax-l，记p(x)=ex+2ax-1(x>0),对p(x)进行求导，对a进行分类讨

2、论，分为a亠§和*匕§两种情形，根据导数与单调性的关系得P(x)与0的关系，得到f(x啲单调性和最值，结合h(O)=h'(O)=O,得结论.社£试题解析：⑴当2研>f仪)詔■一心所以讪=营・做>22记==贝ijg(x)='e当xv1时，所以g'(x)vtb函数秋刈单调递减；当时，ex>e^所以g'(x)>tb函数秋刈单调递増.所以g(x)>g(l)=e-e=0,即f'(x)>0恒成立，所以函数f(X)在R上单调递增，即函数f(X)的单调递增区

3、、可为(--+oo),无单调递减区间.(2)令h(x)=f(x)-(x+1)=ex+ax2-x-1(xnO).则

4、h(x)=ex+2ax-1>且h(0)=h(0)=0»记p(x)=ex+2ax-1(xnO),则p(x)=ex+2a»①当2a>-1,即a>--时，p(x)>p(0)>ofe成立，所以函数p(x)在［0,+g)上单调递增，即函数h'(x)在［0,+R)上单调递增，所以h(x)>h(0)=0，所以函数h(x)单调递增,所以h(x)>h(O)=O,BPf(x)>x+1恒成立.②当2a<-1,即a<--时,2由p(x)<0得xvln(・2a),所以函数p(x)在(0,ln(・2a))上单调递减，即函数h(x)在(O,ln(・2a))上单调递减，所以h(x)

5、(O)=O,所以函数h(x)在(0,ln(・2a))上单调递减,所以当xe(O,ln(-2a))时h(x)vh(0)二0,显然f(x)nx+1不能恒成立.1综上，实数a的取值范围为22.已知函数/(x)=3H+x2,g(x)=9x-l.(1)讨论函数0(x)=Qlar-bg(x)(dWR,b>0)在(1,+®)上的单调性；(2)比较/(兀)与g(x)的大小,并加以证明.【答案】(1)见解析(2)/(x)>g(x)【解析】试题分析：(1)由题意，可采用导数法进行探究讨论，由函数卩(力求出其导数根据导数解析式中参数及未知数的范围，进行分类讨论，从而对导数/(

6、刃符号进行判断，从而问题可得解；(2)根据题意，可构造函数A(x)=/(x)-^(x),利用导数法，通过研究函数腻刘的单调性及单调区间,求出其最小值应(力通，并证明风或祖>0,从而问题可得解.9b—-x/、、人、(、an.a-9hxy9b丿/lx试题解析(1)0(x)二——9b==——(兀＞1),当希51,即a<9h时，0(x)v(),0(兀)在(1,4-00)上单调递减；当討，即心洒令0⑴>。，得康(、令0'(X)VO,得XW—,+oo9b丿故心)在(1丘上单调递增,在討单调递减.(2)/(兀)〉g(兀)・证明如下：设h^x)=f(x)-g(x)=3

7、ex+x2-9x4-1,・・・丹(可=3夕+2—9为增函数.••可设川(勺)=(),v/z*(0)=-6<0,/?*(1)=3^-7>0,Axog(O,1)当x>x0时，/?*(%)>0；当x0,.・./(jc)>g(x)・2.已知二次函数/(x)=x2+2x.(1)讨论函数g

8、(x)=/(x)+dn(x+l)的单调性；(2)设函数/z(x)=f(x)-ex,记兀°为函数力(％)极大值点，求证：^-

9、2-沪=0厂2、/2、所以，沪=2兀。+2,由//-Z/(2)v0所以，xog-