专题10无处不考的函数性质问题-备战2017年高考高三数学一轮热点难点一网打尽（解析版）

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1、【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第10讲无处不考的函数性质问题再考纲要求：1・理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性.2•理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求函数的最大(小)值.3•函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点.务基础知识回顾：■1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I•如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值X1，X2当Xi

2、x.1)>f(x2),那么就说函数f(X)在区间D上是减函数图象描述r1•J±AW0自左向右总XlX2X9象是上升的0珀五三自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(「x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间.2.奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.3、「奇、偶函数的性质(1)普通性质①奇偶函数的定义域关于原点对称；②奇函数的

3、图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称；③奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.④若f(x)是奇函数，且在x=0处有定义,则/(0)=0；⑤若f,(x)为偶函数,则f(x)=f(

4、x

5、).(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数.【注】函数的问题，一定要注意“定义域优先”的原则。考察函数的奇偶性同样要优先考虑函数的定义域是否关于原点对称。4.函数的周期性(1)周期函数的定义：若卩为非零实数，对于定义域内的任意兀，总有/(%+T)=/(x)恒成立，则

6、.f(x)叫做周期函数，卩叫做这个函数的一个周期。(2)周期函数的性质：①若T是函数/(x)的一个周期，则kT(kwz,k工0)也是它的一个周期；②若/(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为/(劝的最'小正周期；③如果对于函数/(兀)定义域中的任意兀，满足/(x+Q)=/(x+Z?),则得函数/(%)的最小正周期是

7、a-bo【注】如果对于函数.f(x)定义域中的任意无，满足/(%+«)=/(%+&),则得函数/(切的周期是〃=

8、。一纠；如果对于函数定义域中的任意兀，满足/(兀+。)=/(—%+b),则得函数/(尢)的对称轴是兀=a+b"T~应用举例:类型一、利用函数性质解决函数零点问目

9、？7【例1】【2017广东省惠州市高三调研已知/(兀)是定义在R上的且以2为周期的偶函数，当05兀51时,则实数加的值为()/(x)=x2.如果函数g(x)=f(x)-(x+m)有两个零点,A.2k(keZ)B.2R或2R+丄伙wZ)4C.0D.2R或2k—扣wZ)综上，/(兀)=兀2,xg[-1,1]在y轴上的截距等于Q,在一个【答案】D【解析】设一15兀50,贝I」0<-x

10、个交点，也满足条件.由丁念)的周期为2,故在定义域内，满足条件的。应是2屮或2—,kez.故选D.学科网1I-;—【例212017新疆兵团农二师华山中学月考】己知函数f(x)=<护若函数F(x)=f(x)-kx-ln(l-x),x<0有且只有两个零点，则k的取值范围为()A.(0,1)B.(0,—)C.(―J)D.(l,+oo)22【答案】C【解析】由题意，x>0:/(x)可化为为双曲线4/-x2=l在第一象限的部分，渐近线方程为y=±^:当上=1时，由y=ln(l-x)?可得”=」一T可得x=0,即y=ln(l—x)在x=0处的切线方程为y=x,1—X此时函数F(x)=/(x)-Ax有且只有

11、1个零点,因此若函数F(X)=/(x)-Ax有且只有两个零点,则上的取值范围为(；1)・【方法点晴】本题主要考查分段函数、函数的图象与性质和函数的导数，由于涉及转化思想，综合性较高，属于题型.由题意，x>0,/(x)nJ化为为双曲线41在第一象限的部分亠渐近线方程为y=±

12、x;再利用导数工具y(x)在x=0处的切线方程为y=从而若函数F(兀)=/(兀)—也有且只有两类型二、利用函数性质解决三角函数