中学小论文—多边形与多边形内凸多边形周长大小关系的探索[金开]

《中学小论文—多边形与多边形内凸多边形周长大小关系的探索[金开]》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、多边形与多边形内凸多边形周长的大小关系探究温州市第八中学金开指导师：贾哲三曾经看到过有如下一道题目：问题D为AABC内的一点，求AB+AC与BD+DC的大小关系。解：延长BD交AC于点E・・•三角形两边和大于第三边・・・AB+AE>BD+DE①DE+EOCD②①+②得AB+AE+DE+EC>BD+DE+CD・・・AB+AC>BD+CD侏)・•・AB+AC+BOBD+CD+BC也就是说三角形ZABC的周长大于三角形内ABDC的周长。从图(1)看这个结论还是比较直观的，那么随着三角形内点数的增加，多边形的边数也会随Z增加。那么这个结论是否还仍然成立呢？问题2：D],D2

2、为AABC内的两个点，连接BD，D1D2,D2C,求AB+AC与BD1+DQ2+D2C的大小关系。这个题目要分类讨论，因为它的图形有两种情况,-种是凹四边形，如下(2-1)：在这种情况下，可以通过实验法量出BD】长3cm,DQ2长2cm,D2C25.2cm,AB长3.3cm,AC长4.8cm,所以BD]+DiD2+D2C=10.2cm,AB+AC=&lcm,AB+ACD

3、D2・•・AB+AC>BE

4、+CE二BDi+DiE+CD2+ED2>BD)+CD24-DiD2・•・AB+AC>BD]+D1D2+D2CAAABC的周长大于四边形BD

5、D?C的周长问题3：那更深一步，D],D2,D3为AABC内的三点，是多边形BDQ2D3C是凸多边形，求AB+AC与BD

6、+DQ2+D2D3+D3C的大小关系A解：延长BD】，CD?交于点E,延长BE交AC于点F,连D1D3我们发现在AABC和AEBC之间是一个与问题1类似的结构，所以可以直接得出AB+AOBE+CE,又在△〔。口与厶D2DD3之间也有一个与问题1相似的结构，所以我们乂可以得岀ED1+ED3>D2D14-D2D3,

7、所以两式综合一下,我们便可以得出AB+AC>BD

8、+DQ2+D2D3+D3C我们发现，不论是问题2或问题3,都可以通过添辅助线的方式，回归到问题1的结构，那这到底是巧合还是必然呢?我们再看，如果AABC内冇四个点会怎么样?问题4：DQ2D3D4为ZABC内的四点，且多边形BDQ2D3D4C为凸多边形，求AB+AC与BDi+D1D2+D2D3+D3D4+D4C的大小关系解：延长DQ2，D4D3交于点E,延长BDi，C6交于点F,连接DD4,仔细观察，我们也可以发现在AABC和AFBC之间和△FD1D4与HED1D4之间有类似于问题1结构，所以我们又可以很轻松地得出AB

9、+AOBD+DQ2+D2D3+D3D4+D4C以此类推,我们不难发现，不论三角形内有儿个点，我们都可以通过添辅助线使其构成一个或多个类似于问题1的结构。因此，我们可以得岀以下结论1：结论1：D

10、、D2、D3……0为厶ABC内的n个点，但多边形BDQ2D3……D£为凸多边形时，AB+AOBD1+DQ2+D2D3+……DnC探索完三角形内存在的D点问题后，我乂想能否试着把三角形转换成其它多边形，看看会有怎样的结论呢?问题5：Di、D?是矩形ABCD内两点，_RBD,D2C为凸四边形，求AB+AD+DC与BD

11、+DQ2+D2C的大小关系解：作D)F平行AB交BC于点F,作D

12、2E平行AB交BC于点E,过D?作JH平行AD交AB于J,交DC于H,过D]作GK平行于BC交AB丁G,交DC于K,交D?E于I・.・GD

13、〃BF,GB〃D

14、F・•・四边形GBFDI是平行四边行同理四边丿EDzHKI,AGKD,IKCE、JGKH是平行四边丿段・•・BF二GDi,EC=IK=D2HGK=ADJG=D2I=HK・.・DiF+BF>BDi・・・GD

15、+D]F>BD

16、①・.・D?E+EC>D°C:.d2e+d2h>d2c.•.d2e+ik>d2c②VD2I+D

17、I>DiD2(3)①+②+③得GD

18、+D]F+D2E+IK+D2I+D

19、I>BD

20、+DQ2+D2C

21、即BJ+AD+CH>BD

22、+D1D2+D2CVAB+BD+DOBJ+AD+CH・・・AB+BD+DC>BDi+DQ2+D2C再进一步，当矩形内有三个点会有怎样的结果?问题6：Di、D2、D3是矩形ABCD内三点，且BDjD2D3C为凸多边形，求:AB+AD+DC与BD]+DQ2+D2D3+D3C的大小关系,(5)MKBEFGC(6)解：过点D2作LM平行于BC交AB于L,交DC于M,过点D]作HI平行于BC交AB于H,交D2F于I,过点D3作JK平行于BC交D2F于I,交DC于K,过点D2作D2F平行于AB,交BC于F按问题5所示，我们可得D2I=L