离散的情况：凸多边形

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1、1离散的情况：凸多面体Minkowski指出一个凸多面体完全可以用它的面的面积和方向来表示。而我们可以通过球面上的质点来方便的表示面的面积和方向。该球面称为高斯球面。令每个点的质量等于相应面的面积，来获取一个凸多面体的EGI。如图所示：2.1EGI的性质EGI的质量等于相应多面体的表面积和。如果多面体是闭合的，任何一对相反的方向可以得到相同的投影面积。这使得我们可以计算出EGI质心的位置。当我们从远处看一个多面体时，会感到比它的实际大小要小。假设视觉方向的方向向量为，单位法向量，面的实际面积大小Oi，则有视觉面积为(·)Oi，该视觉

2、面以为法向量。所有视觉面的表面积和为A()=，当从相反的方向看该多面体时，视觉面的表面积和为A(-)=，显然A()=A(-)，因此，故。所以EGI的质心在原点(attheorigin)上。2.2建立四面体具有公共边的面称为相邻面。但是两个相邻面映射到高斯球面上的质点并不是相邻的关系。这就很难从EGI中重新建立一个四面体，因为无法确定面的相邻关系。但可以找到每个面相对于质点的偏移量。一个四面体的结构比较简单，每一个面都和其他面相邻。四面体的形状可以由四个面的法向量表示，大小是个未知量。设四面体的每个面的法向量分别为，面积分别为A，B，

3、C，D，求质心到每个面的距离a,b,c,d，进而可以求出四个顶点A,B,C,D的位置，确定四面体的大小。性质：一个三角形的中心到一条边的距离等于该边所对的顶点到这条边距离的三分之一（以证明过）。类似的，在一个四面体中，质心到四个面的距离等于相应面的对顶点到该面的距离的四分之一。通过点到面的距离公式，进而可以求出距离d。同理求出a,b,c。由此得到的四面体的位置是不唯一的。为了使得到的结果是唯一的，可把质心放在原点处，但是这里为了计算简单，令四面体的其中一个顶点D在原点处。其他三个点的位置可以根据D点得到。由此可以确定六条边的方向。根

4、据相交的两个边方向向量，求出这两条边所在面的法向量。最终求出偏移量d，由公式。同理对a,b,c。2.2续情况：平滑曲面物体(smoothlycurvedobject)2.1高斯图像在高斯球面上，可以找到与曲面上具有相同法向量的对应点。利用这种方法可以将曲面上的点映射到高斯球面上。一个凸曲面体的高斯曲率处处都是正的，任何两个点的法向量都不同。该过程也可以逆序：从高斯球面到曲面物体的映射。利用高斯图像的这种特性，实现物体旋转。曲面上和高斯球面上的两个平行的法向量，当曲面体旋转时，相应的高斯球面也进行相同的旋转。反之亦行。2.2高斯曲率物

5、体上的小区域，区域上的每一个点都映射到高斯球面上，在高斯球面上亦可以得到一个小区域。如果这个小区域是曲面的，区域上点的法向量会形成一个扇形的形状，相应的高斯球面上形成展开的区域。相反，如果这个区域是平面的，面上所有点的法向量都是平行的，那么映射到高斯球面上只是一个点。因此要适当的定义曲率。高斯曲率的定义：，将这个微分（differential）方程二重积分(integrals)，可以得到：，s表示高斯球面上相应区域的面积。等式左边称为积分曲率。在高斯球面区域对1/k积分，有，o为曲面体上相应区域的面积。对整个高斯球面积分，可得到相应

6、曲面体的表面积和。2.2高斯曲率的另一个定义光滑曲面的法线所在的平面称为法截面。如图：法截面的曲率记为N,设为法截面与参考面之间的夹角。则有，，其中k1为最大曲率，k2为最小曲率，k为主曲率，相应的平面称为主平面。两个主平面之间的夹角为直角。则有，为高斯曲率。对于半径为R的球面的曲率为1/R2，因为它的每一个法截面的曲率都是1/R。2.3EGI定义物体表面点与高斯球面点间的高斯曲率倒数的映射关系。则有，表示高斯球面上的点，它与原始表面上的点具有相同的法线。对于一个凸物体来说，这种映射是唯一的。2.2EGI的性质与前面相似，令区域的视

7、觉方向向量为，单位法向量，区域的实际面积为，则有区域视觉面积为（·）。为单位半球，可视面的表面积为，相反方向则有，，所以，进而有。所以EGI的质心在球心上。EGI的另一个性质：EGI的质量等于物体的表面面积和。2.3非凸面物体当表面为凹形时，将会发生三种情况：1在某些点的高斯曲率是负值。2物体上至少一个点在高斯球面上的映射是重复的。3物体的某些部分被其他部分掩盖。在这种情况下，我们选择EGI的扩展定义，将具有相同方向的所有点的高斯曲率倒数的绝对值得和作为EGI。这个定义同样适用于离散的情况。如果在曲线上的点或者是在表面区域上的点具有

8、相同的面法线，则有，其中是高斯球面的单位矢量，是物体表面的单位矢量。在物体o的整个表面上积分，是球面上的单位impulsefunction。令是物体表面上点的矢量，则有：，分别是表明上点高斯球面上的映射点的经度和纬度。3Discret