【精品】凸分析作业

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1、第四节凸函数函数f定义在R“的子集S±,值域为实数或者±8.集合{O,“)lwxeS,jueR,ju>f(x)}称为f的上图，记为epif.如果epif为疋和的子集上的凸集，我们称f为凸函数.S上的凹函数就是凸函数的反而.S上的仿射函数就是具有确定的凸性或者凹性的函数.S上凸函数的有效定义域是f上图到卍的投影，我们记为domf,即domf={xl日“,(兀,“)gepif)={xIf(x)<+8}.这是一个R”上的凸集，因为它是凸集epif在线性变化卜的像.它的维数叫做f的维数•一般地，f的凸性就取决于d

2、omf到f的约束条件,所有的兴趣就集中在这个约束条件上,S本身没起多大的作用.很显然，为什么我们只考虑有确定有效定义域C的凸函数是有很亜要的原因的.两个处理方法可以使用•一•个方法是仅仅关注不含+8的函数，从而使S与domf相符合(随着f的不同而不同)•当然，也可以关注所有Rn上的函数，因为S上的凸函数可以通过补充定义f(x)=+oo(当x^S),可以扩张成为Rn上的凸函数.第一个处理方法将在本巧中阐明.此后，除非特别声明，我们认为凸函数就是指定义在全体实值R"(包括无穷大)上的凸函数.然而，这个方法会牵

3、涉到+00或-oo的算术运算，我们给出如下规则：Q+00=00+a=00,V-GO<6T<00a—oo=-oo+a=-oo,V—oo

4、2=6/2+Clfr(C6+Q2)+Q3=Qi+(Q2+Q3)，cifia2=a2ar◎(久+弘匸。a^aa?，为了避免00-00需耍小心，比如避免除数为0.在实际中，一般假设运算不包括无穷大，所以不会产牛矛盾.如果f的上图是非空的并且不包含垂直线就是真凸函数.比如说如果存在X使f(X)<+00,或者任意X,f(x)>-00.因此，f是真凸函数当K仅当凸集C=domf是非空的.换一种说法，R"上的真凸函数是从非空凸集C上取有限凸函数，并口f(x)=+00(xeC)扩充到R*1函数.不是真凸函数的凸函数为非

5、真的.真凸函数是我们所要学习的，但是非真口函数在很多情况下也会由非真凸函数产牛，并且考虑它比排除它方便的多.一个不是+00或-00的简单的非真凸函数的例子是R上如下定义的函数：-00当X<1,fM=<0当X=1,+00当X>1.凸函数有垂要的插值性质.通过定义，S上f是凸函数当且仅当(1-2)(兀,“)+2(y,v)=((1-2)x+Ay,(1一刃“+2“)・属于epif,V(x,“),(”“)属于epif,0

6、S,yeSJx)5“wR,/(y)

7、Jensen不等式)设f是R11到(-oo,+oo］±的函数.f是凸函数必须且只须f(21兀1+•••+AmXn)-2/(兀1)+…+2丿(兀加)'对21"，・・・，九"，儿+・・・+2广1成立•证明非常简单，留作练习.当然，在相同条件下，凹函数满足相反的不等式.仿射函数满足上述的等式情形•因此，R11上的仿射函数是R"到R的一个仿射变换.定理4.1.中不等式通常被用作凸集C至lj(-oo,+oo］的函数f的凸性的定义，但是这个方法会带来麻烦.因为当f能取到+oo,-oo时会出现oo-oo的情况.当然，定

8、理42可以川来定义一-般情况下的凸函数•但是，这一节开头部分的定义似乎更好，因为它利用了儿何知识，而儿何是凸分析理论的基础.一些古典口函数的例子可以从如卜•定理获得:定理4.4.设f是开区间(％0)一上的二阶连续可微实值函数.则f是凸函数必须且只须它的二阶微分.厂在区间(久0)非负.证明首先，假设厂在仏,0)非负，则厂在(久0)上是不减的•当a