【9A文】凸分析作业

《【9A文】凸分析作业》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、【MeiWei_81-优质适用文档】第四节凸函数函数f定义在Rn的子集S上，值域为实数或者.集合

2、称为f的上图，记为epif.如果epif为Rn+1的子集上的凸集，我们称f为凸函数.S上的凹函数就是凸函数的反面.S上的仿射函数就是具有确定的凸性或者凹性的函数.S上凸函数的有效定义域是f上图到Rn的投影，我们记为domf，即domf={x

3、}={

4、}.这是一个Rn上的凸集，因为它是凸集epif在线性变化下的像.它的维数叫做f的维数.一般地，f的凸性就取决于domf到f的约束条件，所有的兴趣就集中在这个约束条件上，S本身没起多大的作用.很显然，为什么我们只考虑有确定有效定义域

5、C的凸函数是有很重要的原因的.两个处理方法可以使用.一个方法是仅仅关注不含的函数，从而使S与domf相符合（随着f的不同而不同）.当然，也可以关注所有Rn上的函数，因为S上的凸函数可以通过补充定义f（x）=（当x），可以扩张成为Rn上的凸函数.第二个处理方法将在本书中阐明.此后，除非特别声明，我们认为凸函数就是指定义在全体实值Rn（包括无穷大）上的凸函数.然而，这个方法会牵涉到+的算术运算，我们给出如下规则：，<,<==,(－)=(－)=－,0<==－,(－)=(－)=,－<00=0=0=0(－)=(－)0,－(－)=inf=+,sup=－由于运算－和－+没有定义，我们需

6、要避免.在这些原则下，以下的运算法则成立：=,()+=+(+),=,()=(),(+)=+,为了避免需要小心，比如避免除数为0.在实际中，一般假设运算不包括无穷大，所以不会产生矛盾.如果f的上图是非空的并且不包含垂直线就是真凸函数.比如说如果存在x使f（x）<，或者任意x，f（x）>.因此，f是真凸函数当且仅当凸集C=domf是非空的.换一种说法，Rn上的真凸函数是从非空凸集C上取有限凸函数，并且f（x）=（xC）扩充到Rn函数.不是真凸函数的凸函数为非真的.真凸函数是我们所要学习的，但是非真凸函数在很多情况下也会由非真凸函数产生，并且考虑它比排除它方便的多.一个不是或的

7、简单的非真凸函数的例子是R上如下定义的函数：凸函数有重要的插值性质.通过定义，S上f是凸函数当且仅当.属于epif，属于f，0.换言之，存在和【MeiWei_81-优质适用文档】【MeiWei_81-优质适用文档】.这还可以用多种方法表述，以下两种不同形式的表达最有用：定理4.1.设f是凸集C（例如C=R2）到的函数，那么f是C上的凸函数必须且只须对任何成立.定理4.2.设f是Rn到的函数，那么f是凸函数必须且只须对成立.另外的重要形式可以通过定理2.2.推出.定理4.3.[1]（Jensen不等式）设f是Rn到上的函数.f是凸函数必须且只须对成立.证明非常简单，留作练习

8、.当然，在相同条件下，凹函数满足相反的不等式.仿射函数满足上述的等式情形.因此，Rn上的仿射函数是Rn到R的一个仿射变换.定理4.1.中不等式通常被用作凸集C到的函数f的凸性的定义，但是这个方法会带来麻烦.因为当f能取到时会出现的情况.当然，定理4.2.可以用来定义一般情况下的凸函数.但是，这一节开头部分的定义似乎更好，因为它利用了几何知识，而几何是凸分析理论的基础.一些古典凸函数的例子可以从如下定理获得：定理4.4.设f是开区间上的二阶连续可微实值函数.则f是凸函数必须且只须它的二阶微分在区间非负.证明首先，假设在非负，则在上是不减的.当，且有由于有两式两边分别乘以和，

9、再相加，有该式左边即通过定理4.1.就证明了的凸性.考虑定理的反面，假设在区间不是非负的，则是某个连续区间是负的.考虑区间有因此【MeiWei_81-优质适用文档】【MeiWei_81-优质适用文档】从而在就不是凸函数.产生矛盾.定理4.4.将由定理24.1.和定理24.2推广到一般情况.由定理4.4.下列函数是R上的凸函数：1.2.3.4.考虑多维的情形，从定理4.1可知：函数且在上显然为凸函数，对于仿射函数在上确实具有这种形式（定理1.5）.对于二次型函数：其中Q为n阶的对称矩阵，当且仅当Q为半正定时，即对，时，在上为凸函数.根据定理4.4该结论显然成立.定理4.5[

10、2].设为开凸集，为二次连续性可微函数，那么为凸函数必须且只须其海赛矩阵对一切的为半正定矩阵.证明C上的函数的凸性等价于约束函数的每一部分在凸性，也就是说等价于函数在实开区间{∣，}上的凸性.简明表示如下：由定理4.4可知，对，为凸函数当且仅当对于，都成立.上的一个有趣凸函数的凸性能被定理4.5证实，这个函数就是几何平均值的相反数.函数表示如下：于是可得其中，由于.故对非负.上最重要的一个凸函数是欧几里得范数∣x∣=.当时为绝对值函数，欧几里得范数的凸性需满足下面两个条件.∣x+y∣∣x∣+∣y∣,∣∣=∣∣【MeiWei_8