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1、【导学案523】解三角形的实际应用举例（一）班级姓名编写人：干-松涛审核人：【学习目标］I1.能够运用正、余弦定理解决一些与三角形有关的实际问题；2.了解常用的测量相关术语的含义，体会数学知识源于实际纶活。3.通过解答实际问题掌握解三角形实际应用的解题步骤【学习重点】由实际问题屮抽象出三角形，利用解三角形的知识解决和关实际问题【学习难点】山实际问题题意画出示意图，建立解三角形问题模型。【学习过程】一、课前预习自学（阅读课木第58页59页内容，思考回答下列问题）1.画图说切什么是仰角和俯角？它们有什么区别？2.方向角和方位角冇什么区别?3.课本58页例1和例2分
2、别利用解三角形的知识解决了那类问题？用解三角形的知识解决距离、高度问题的关键是什么？主要应用了那些数学思想？二、合作探究，典型突破知识点一：利用解三角形知识解决距离问题【探究1】如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在4的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测岀AC的距离是55加，ZBAC=51°,ZACB=75。.求A、B两点的距离（精确到0.1m）.答案：A、B两点间的距离为65.7米图1.2-1【变式训练1】A、B两点都在河的对岸（不可到达），若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得ZBCA二60°,ZACD=30°,ZCDB二45°,Z
3、BDA=60°.试求A、B两点间距离。答案：AB二20拆米知识点二：利用正、余弦定理解决一些有关底部不可到达的物体高度测量问题【探究2］为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°,测得塔基B的俯角为45°,则塔AB的高度为多少？答案：20+也（ni）3【探究3］在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为&,沿BE方向前进30m,至点C处测得顶端A的仰角为20,再继续前进10V3m至D点，测得顶端A的仰角为4&,求&的大小和建筑物AE的高。解法一：（用正弦定理求解）由己知可得在△ACD屮，AOBC二30,AD二DC二10V3,
4、ZADC=180°-40,・10VJ二30。…sin2&sin（180-46＞）°因为sin40=2sin20cos26・•・cos2&二^~，得20=302・・・8二15°,・•.在RtAADE中，AE=ADsin60°=15答：所求角&为15°,建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设DE二x,AE二h在RtAACE中，（10巧+x）2+h2=302在RtAADE中，x2+h2=（10巧）2两式相减，得x=5侖，h二15・・.在RtAACE中,伽2&二—4—=—/.2=30°，&=15。10V3+A-3答：所求角&为15°,建筑物高度为15m解法三：（
5、用倍和公式求解）设建筑物高为AE=8,由题意，得ZBAC=0,ZCAD=20,AC=BC=30m,AD=CD=10V3my4_在RtAACE中，sin2&二一①在RtAADEsin4&二一,②3010V3②+①得cos2&二,20=30°,0=15°,AE=ADsin60=152答：所求角&为15°,建筑物高度为15m【变式训练2】课木59页练习1三、达标检测1.台风屮心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市3在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（）.A・（）.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时解
6、析:设A地东北方向上点P到B的距离为30千米,AP=x,在AABP中PB2=AP2+AB'-2AP・AB・cosA,化简得40迈兀+700=0即30=x2+402—2x•40cos45u卄Ixi—x2I2=(xi+x2)2-4xix2=400,
7、xi—x2I=20,v202、两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于dkm,灯塔A在观察站C的北偏东30°,灯塔B在观察站C南偏东60°,则A、B之间的距离为答案：V2akm3、A、B是水平面上的两个点，相距800m,在A点测得山顶C的仰角为45°,ZBAD=120°,又在B点测得ZABD=45°，其中D是点C到水平面
8、的垂足，求山高CD.【解析】如图，由于CD丄平而ABD,ZCAD=45°,所以CD=AD.因此，只需在ZABD中求出AD即可，在厶ABD屮，ABADsin15°sin45°ZBDA=180°-45°-120°=15°,由=,2186(m).答：山高CD约为2186m四、知识小结解斜三角形应用题的一•般步骤：（1）分析：理解题意，分清己知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知吐与求解最尽址集屮在有关的三角形屮,建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用止弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符
9、合实际意义，从而得出实际问题的解
