【备战高考数学试题】专题53巧求圆锥曲线中的最值和范围问题含解析

《【备战高考数学试题】专题53巧求圆锥曲线中的最值和范围问题含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、专题53巧求圆锥曲线中的最值和范围问题【高考地位】最值问题是高考的热点，而圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点，不仅会在选择题或填空题中进行考察,在综合题中也往往将其设计为试题考查的核心.【方法点评】方法一圆锥曲线的定义转化法解题模板：第一步根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等；第二步利用两点间线段最短,或垂线段最短，或三角形的三边性质等找到取得最值的临界条件，进而求岀最值.2,2例1•已知点F是双曲线—=1的左焦点，定点A(l,4),P是双曲线右支上动点，则

2、IPF

3、+1PA

4、的最412小值为:【答案】9设双曲线右焦点为F，则

5、PF

6、-1加=4PF

7、=4+1PFf所以

8、PF

9、+

10、刃

11、=4+

12、PF[+

13、M

14、n4+

15、/F

16、=9.［变式演练1】抛物线/=4x上一点P到直线x=-的距离与到点0(2,2)的距离之差的最大值为()A.B“C.D.y/5【答案】D【解析】作出抛物线尸=牡的團象如下图所示，则点F为挞物线的焦点，直线"-1为抛物线的准线，过点尸作PD垂直于直线x=-l,垂足为点£由删空的定义的可知PF=PA,则点P到直线x=-l的距离与到点Q(2,2

17、)的距誦之差爭于PF-PQ.^P.Q.F三点不共纟姗b由三角形三边之间的关系可知,PF-PQ

18、；第三步两平行线间的距离就是所求的最值,切点就是曲线上去的最值时的点.例2.求椭圆y+/=l上的点到直线y=x+2羽的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.【答案】椭圆上点（-羊,£）到直线尸兀+2石的距离心曲；JJ乙椭圆上点（羊,羊）到直线y=x+2y[i的距离t/max=芈设与直线尸x+20平行，且与椭圆相切的直线为尸x+by=x+b所以3工+4foc+0-2=0(2)A=(45)2-4x3x3-2)=0所以b=±朽当b=*时，代入(2)中，得切点坐标(一、此时心当—-右时，代入(

19、2)中，得切点坐标(22【变式演练2】如图，设椭圆(7手+箱~十>/7>0)的左右焦点为片,厲，上顶点为A点B,F?关于耳对称，且A3丄A坊(1)求椭圆C的离心率；(2)已知P是过A,B,F2三点的圆上的点，若AA斤耳的面积为75,求点P到直线/:尢-循y-3=0距离的最大值•【答案】⑴*；(2)4.乙【解析】(1)5(-3^.0),AB=y!9c2+b2aAF2=a3BK=4e2分由厦5丄/码及勾股定理可知ABUA用=昭，即久？+沪+/=1&$4分因=a2-c2?所以=解得e=-=^6分aX⑵由⑴

20、可知M辺是边长加的正三角形，所认S=书4解得a=2,c=1上=书由却丄么码可知直角三角形ABF2的外接圆以耳(70)为圆心，半径厂=2即点尸在圆0+1)2+尸=4上,10分因为圆心耳到直线J松一3=0的距离为d=学i12分13分故该圆与直线J相切,所以点P到直线/的最犬距禽为2厂=4方法三参数法解题模板：第一步根据曲线方程的特点，用适当的参数表示曲线上点的坐标；第二步将目标函数表示成关于参数的函数；第三步把所求的最值归结为求解关于这个参数的函数的最值的方法.2例3.在平面直角坐标系中，P(x,y)是

21、椭圆y+y2=l上动点，贝(JS=兀+y的最大值是.【答案】2【解析】设p点坐标为X=屁:S&(0<0<2^)y=sm0贝IJS=x+y=V3cos0+sin0=2sin(&+—)7T当&二—时zS=2=6ng【变式演练3】设彳柴尺/+2夕=6,求°+J刃的最大值和最小值，并求取得最值时的值此时a=-羽.b=【答案】(o+>/2&)„=2>A,此时《=击0=痔；(a+血)叭=一2朽£【解析】由宀"一6弋+分1所以可设v^cosxtb=->/3^x9(Q^x<2/i)贝

22、_

23、a+V2&=-Acos:

24、x+sinjc=2石siu(x+兰)4当x=y时，(c+A?2i)M=2>/3,此时。=羽上=您；42当x=冬时，(。+7冠)叭=-2V5,此日寸4=-石上=—兰」42方法四基本不等式法解题模板：第一步将所求最值的量用变量表示出来，第二步用基本不等式求这个表达式的最值，并且使用基本不等式求出最值.例4.已知椭圆M:与+可“《〉0)的一个焦点为F(-1,O)，左右顶点分别为A,B.经过点F的直线与a3椭圆M交于C,D两点.(I)求椭圆方程；(n)当直线的倾斜角为45时，