“数学概念学习中的错误分析”之分析论文

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1、“数学概念学习中的错误分析”之分析徐文彬（南京师范大学教育科学学院，江苏南京210097）摘要：对数学概念学习中的错谋作调查分析，不能仅仅局限于调杳所得的抽彖的具体数字或数据，更要明确调查中所设计问题的论域，并结合具体的语境，对作为社会行动者的学生之响应作出合情合理的分析与建议•关键词：论域；社会行动者；语境李善良先生在《数学概念学习中的错误分析》^一文中就其所概括•的数学概念学习过程屮的两种错误，即过程性鉛误和“合理性”错误进行了精细的建构主义分析，对我们正确理解、防范并克服学生在学习数学概念的过程中有可能出现的

2、各类错课具有原则性和策略性I'】的启发作用。但是，我们认为文［1］中所运用的儿个案例及其分析有值得进一步推敲的地方.下而我们将仅从逻辑学、社会心理学和应用语言学等视角对具做进一步的分析.1.逻辑学视角从逻辑学的视角來看，任何问题或提问都预设着该问题或提问所涉及到的范围，即论域.所以，当问题或提问的设计者所预设的论域和问题的解决者（或回答者）所选择的论域不—•致的时候，即使问题的解决者（或冋答者）在其所选择的论域范围内所做的解答是正确的，也会被解答的分析者（以问题或提问设计者的预设为分析标准，而且分析者通常就是设计者

3、）视为“错误”・我们认为，为避免出现这类“合理性”错误，问题（或提问）设计者应该明示其隐藏的预设.如果明确给出问题（或提问）所涉及到的论域，那么文［1］所得到的调查结果及其分析就有可能是另外一冋事.当然，这需耍作更进一步的调查与分析.例1“对于方程x2+2x+3=0，许多大学生认为没有根.”分析从这一结果为分析我们可以看出：问题设计者为结果分析者所预设的x的収值范围显然是复数域C,而这些“认为没有根”的人学生所选择的x的取值范

4、韦］则应该是实数域R.我们认为，这正是造成这一所谓“合理性”错误的真正原因所在，而不是什

5、么“认知的惯性”等其他因素.试想如果我们的问题是“在复数范围内求方程x24-2x+3=0的根”，那么又会有儿个（数学专业）大学生会认为这个方程没有根呢？或者，如果问题是"在实数范围内求方程x2+2x+3=0的根”，那么这些“认为没有根”的大学生就是正确的，因而也就根木没有犯什么所谓“合理性”错误.例2“已知：x2+y2=0,求x、y.”分析从问题的设计者和结果的分析者所作的分析（具体分析可参见文［1］）,我们能够看出：他们所预设的论域仍然是复数域C,而“得x二y=0”的那些（大）学生们所选择的论域也没有变，还是实数

6、域R.如果我们把问题改编成“在实数或复数范围内，x2+y2=0,试求X、yZ间的关系.”那么，如果是前者，则那些“得X二y=（）”的学生就没有错，而如果是后者，则那些“得x=y=O"的学生数量至少会降低.行文至此，可能直的读者会提出如下的疑问：如果明确了问题或提问所涉及到对象的范I韦I，那么势必会降低问题或提问的难度，体现不出对学生的考察之功能？对此，我们的观点是：如果问题或提问的设计者和结果的分析者想要以其所预设的论域为评判学生“解答”的“惟-”标准，那么，他们就必须在问题或提问中明示其所预设的论域.否则，在考察

7、者和被考察者之间就建立不起真正公正的“评判关系”，因而评判也就起不到它所预期的考察之功效.例如，如果我们的问题是：“1+1=?”，那么，请问：被提问者（可以是数学专业的大学生或者计算机专业的大学生）如何解答呢？在此，我有意没有明示问题所涉及到的论域.你能说“1+1=2”正确而"1+1=10”错误，或者相反吗？其实，即使是“1+1=2”，仅仅凭借这一点，我们也无法断定回答者是在何种记数制下所作的思考（十进制仅仅是其中的一种町能，而二进制也仅仅是其中的另一种可能）.2、社会心理学视角从社会心理学的视角来看，当学生“遭遇

8、”要其回答的“问题”时，他或她总是要采取某种“行为”以作为响应•而这时的学生显然就是一个生物行动者（秉承着其生物存在）、文化行为者（秉承着其文化存在）和社会能动者（秉承着其社会存在）三位一体的社会行动者.E此对作为社会行动者的学生所作出的“行为”响应（针对他或她所“遭遇”的问题）所作的任何单一因素的分析都不可能给出其合理的解释及预测门］.而文［1］对其所选择的学生“行为”响应所作的分析，町以说主耍是抽象而非具体的（数学）“社会——文化”分析.例3“六年级学生对于小数、分数概念已经熟悉，各种运算非常熟练.然而在判断'

9、2个数的积与这2个数的差（0除外），在任何情况下都不会相等'时（300人），只有41人（14%）给出正确答案.经过访谈分析，出错的原因是他们的思维都限制在自然数中.”分析显然，问题“2个数的积与这2个数的差（0除外），在任何情况下都不会相等”中仍然存在着论域不明的问题.我们可以设想：如果在问题中明示“数的范围”，那么，尽管町能不会彻底根除这类出错现象，但是正