资源描述：
《高中：分段数列专题探讨》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、分段数列专题分析类型一：前后分段；1.基于通项与前项和的关系的分段数列和含有绝对值的数列。已知有穷数列共有2项（整数≥2），首项＝2．设该数列的前项和为，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常数＞1．（1）求证：数列是等比数列；（2）若＝2，数列满足＝（＝1，2，┅，2），求数列的通项公式；（3）若（2）中的数列满足不等式
2、－
3、＋
4、－
5、＋┅＋
6、－
7、＋
8、－
9、≤4，求的值．分析：本题所涉及的数列都不是分段数列，但在解答第（1）小题时仍需要考虑分段证明，解题中很多考生都出现了证明不完整的情况。典型错误：因为，两式相减得：，即，所以数列是等比数列；这里错误之处有2个，一是和上题一样忽略了成立
10、的条件是，另一个是并不等价于。第三问作差法解数列通项公式；对的正负进行讨论取绝对值，然后解关于k的不等式。解析：(1)[证明]当n=1时,a2=2a,则=a；2≤n≤2k－1时,an+1=(a－1)Sn+2,an=(a－1)Sn－1+2,an+1－an=(a－1)an,∴=a,∴数列{an}是等比数列.(2)解：由(1)得an=2a,∴a1a2…an=2a=2a=2,bn=(n=1,2,…,2k).（3）设bn≤,解得n≤k+,又n是正整数,于是当n≤k时,bn<；当n≥k+1时,bn>.原式=(－b1)+(－b2)+…+(－bk)+(bk+1－)+…+(b2k－)=(bk+1+…+b
11、2k)－(b1+…+bk)==.当≤4,得k2－8k+4≤0,4－2≤k≤4+2,又k≥2,∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.变式练习：数列是递增的等差数列，且，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和的最小值；（3）求数列的前项和．【答案】（1）由，得、是方程的二个根，，，此等差数列为递增数列，，，公差，．（2），，（3）由得，解得，此数列前四项为负的，第五项为0，从第六项开始为正的．当且时，．当且时，．2.递推关系分段给出的分段数列已知为首项的数列满足:.(1)当时，求数列的通项公式；（2）当时，试用表示数列前100项的和；分析：本题所给的递推关系式既含等差又含
12、等比，立意新颖，难度适中。但由于做限制条件，很难对和讨论一般情况。这道题很容易出错，很多学生会误以为后面的条件是n＜3和n≤3，然后就是全军覆没！注意是，所以要对每一项的值进行计算，然后再判断其通项是按照上面的算还是下面的算，第一问直接代数即可，可以发现这是一个周期数列，每三项是一个周期；第二问给的是范围，所以要判断后面的值，会发现它也是个周期数列，每三项是一个周期，所以将三项合并在一起计算，就变成了一个等比数列，计算就简单了很多。解析：（1）由题意；由得；由得；由得，由此∴得 （）．（2）当时，，，，，，，…，，，，…∴．变式练习：1数列的通项，其前n项和为.(1)求;(2)求数列｛
13、｝的前n项和.解:(1)由于,故,故()(2)两式相减得故类型二：奇偶分段；1.已知数列是首项为的等比数列，且满足.（1）求常数的值和数列的通项公式；（2）若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、……、第项、……，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列，试写出数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，设数列的前项和为.是否存在正整数，使得？若存在，试求所有满足条件的正整数的值；若不存在，请说明理由.分析：第一问根据等比数列的定义代入，可求出数的值和数列的通项；第二问，根据题意可知奇数项和偶数项分别构成两个等比数列，求数列的通项要注意项数，此处要和学生讲到何时要奇偶分段，强调一定要确定清项数；
14、第三问代入解出n就可以，要注意n的范围为正整数。答案：（1）；（2）（3）存在，变式练习：在数列，中，,,,（）.（1）求数列、的通项公式；（2）设为数列的前项的和，若对任意，都有，求实数的取值范围.【答案】解：（1）因为，，，即数列是首项为2，公比为的等比数列，所以.…………3分，，，所以，当时，，即.…………………………6分（2）由得，，，，因为，所以.………………………8分当为奇数时，随的增大而增大，且，，；………………………10分当为偶数时，随的增大而减小，且，，.综上，.…………………………………………………………………13分
