2020版高考数学第六章不等式、推理与证明第四节基本不等式学案文（含解析）新人教A版

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1、第四节　基本不等式2019考纲考题考情1．重要不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(当且仅当a＝b时等号成立)。2．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0。(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立。(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数。3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2。(简记：“积定和最小”)(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值。(简记：“和定积最大”)4

2、．常用的几个重要不等式(1)a＋b≥2(a＞0，b＞0)。(2)ab≤2(a，b∈R)。(3)2≤(a，b∈R)。(4)＋≥2(a，b同号)。以上不等式等号成立的条件均为a＝b。　1．应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”。忽略某个条件，就会出错。2．对于公式a＋b≥2，ab≤2，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系。3．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式。若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致。一、走进教材1．(必修5P99例1(2)改编)设x>0，y>0，且x＋y

3、＝18，则xy的最大值为(　　)A．80　　　B．77C．81　　　D．82解析　因为x>0，y>0，所以≥，即xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81。答案　C2．(必修5P100A组T2改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2。解析　设矩形的一边为xm，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，所以y＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25。答案　25二、走近高考3．(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为_

4、_______。解析　由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋＝23b－6＋≥2＝2×2－3＝，当且仅当23b－6＝，即b＝1时等号成立。答案　4．(2017·山东高考)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________。解析　由条件可得＋＝1，所以2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即b＝2a时取等号，所以最小值为8。答案　8三、走出误区微提醒：①基本不等式不会变形使用；②用错不等式的性质以及基本不等式变形错误。5．若x<0，则x＋(　　)A．有最小值，且最小值为2B．有最大值，且最大值为2

5、C．有最小值，且最小值为－2D．有最大值，且最大值为－2解析　因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2。故选D。答案　D6．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)A．≤B．＋≤1C．≥2D．a2＋b2≥8解析　4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，选项A，C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立。故选D。答案　D考点一配凑法求最值【例1】　(1)(2019·泉州检测)已知0

6、x)取得最大值时x的值为(　　)A．B．C．D．(2)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)A．1＋B．1＋C．3D．4解析　(1)因为02，所以x－2>0，所以f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2·＋2＝2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即(x－2)2＝1时等号成立，解得x＝1或3。又因为x>2，所以x＝3，即a等于3时，函数f(x)在x＝3处取得最小值，故选C。答案　(1)B　(2)C通过拼凑法利用基本不等式求最值的策

7、略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提。【变式训练】　(1)若a>0，则a＋的最小值为________。(2)已知x＋3y＝1(x>0，y>0)，则xy的最大值是________。解析　(1)由题意可知a＋＝a＋＋－≥2－＝，当且仅当a＋＝，即a＝时等号成立。所以a＋的最小值为。(2)因为x>0，y>0，所以xy

8、＝·x·3y≤2＝，当且仅当x＝3y＝时，等号成立，故xy的最大值是。答案　(1)　(2)考点二常数代换法求