2020版高考数学第六章不等式、推理与证明第六节直接证明与间接证明、数学归纳法学案理（含解析）新人教A版

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1、第六节　直接证明与间接证明、数学归纳法2019考纲考题考情1．直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止实质由因导果执果索因框图表示→→…→　　　　→→…→文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证…即证…2.间接证明反证法：假设命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方

2、法叫做反证法。3．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，这一步是归纳奠基。(2)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，这一步是归纳递推。完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。1．分析法与综合法的应用特点：对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用。2．利用反证法证明的特点，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误

3、的。3．数学归纳法两个步骤的联系：相互依存，缺一不可。一、走进教材1．(选修2－2P89练习T1改编)对于任意角θ，化简cos4θ－sin4θ＝(　　)A．2sinθB．2cosθC．sin2θD．cos2θ解析　因为cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ。故选D。答案　D2．(选修2－2P89练习T2改编)若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　)A．P>QB．P＝QC．PQ，只需P2>Q2，即2a＋13＋2>2a＋13＋2，只需a2＋13a＋42

4、>a2＋13a＋40。因为42>40成立，所以P>Q成立。故选A。答案　A二、走出误区微提醒：①“至少”否定出错；②应用分析法寻找的条件不充分；③不会用反证法解题。3．利用反证法证明“已知a>0，b>0，且a＋b>2，证明，中至少有一个小于2”时的反设是________。解析　假设，都不小于2，则≥2且≥2。答案　≥2且≥24．若用分析法证明“设a>b>c且a＋b＋c＝0，求证0；②a－c>0；③(a－b)(a－c)>0；④(a－b)(a－c)<0。解析　由a>b>c且a＋b＋c＝0，可得b＝－a－c，a>0，

5、c<0，要证0，即证a(a－c)＋(a＋c)(a－c)>0，即证(a－c)(a－b)>0。答案　③5．设a，b，c都是正数，则a＋，b＋，c＋三个数(　　)A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2解析　因为＋＋＝＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号，所以三个数中至少有一个不小于2。故选D。答案　D考点一分析法【例1】　已知a，b∈R，a>b>e(其中e是自然对数的底数)，用分析法求证：ba>ab。证明　因为a>b>e，ba>0，ab>0，所以要证ba>ab，只需证a

6、lnb>blna，只需证>。取函数f(x)＝，因为f′(x)＝，所以当x>e时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减。所以当a>b>e时，有f(b)>f(a)，即>。得证。分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证。【变式训练】　已知a>0，求证：－≥a＋－2。证明　要证－≥a＋－2，只要证＋2≥a＋＋。因为a>0，故只要证2≥2，即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，从而只要证2≥，只要证4≥2，即a2＋≥2，而上述不等式显

7、然成立，故原不等式成立。考点二综合法【例2】　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1。(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若C＝，求证：5a＝3b。证明　(1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列。(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，即5a＝3b。综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明