2020版高考数学第七单元不等式与推理证明课时6直接证明与间接证明教案文（含解析）新人教A版

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1、直接证明与间接证明1．理解综合法和分析法的概念及区别，能熟练地运用它们证题．2．理解反证法的概念，掌握反证法的证题步骤．知识梳理1．综合法一般地，利用　已知条件和某些数学定义、定理、公理等　，经过一系列的　推理论证　，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．综合法是由已知推导出未知的证明方法，又叫顺推证法或由因导果法．可用框图表示为：→→…→其中，P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论．2．分析法从要　证明的结论　出发，逐步寻求使它成立的　充分条件　，直至最后，要把证明的结论归结为　判定一个明显成立的条件　(已知条件、定义、定理、公理等)．这种证明的方

2、法叫做分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：→→→…→3．反证法一般地，假设　原命题的结论不成立　，经过　正确的推理　，最后得出　矛盾　，因此说明　假设错误　，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．热身练习1．下面的两个不等式：①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；②＋2<2＋.其中恒成立的有(C)A．只有①B．只有②C．①和②D．①和②都不成立　①成立．用综合法证明：a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，三式相加除2即得；②成立．用分析法证明：要证＋2<2＋，只需证(＋2)2<(2＋)2，即证11＋4<11＋4

3、，即证<，即证6<7，而6<7成立，所以原不等式成立．故选C.2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(D)A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－≤0C.－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0　用分析法证明不等式，每一步都是寻找结论成立的充分条件(当然也可是充要条件)，上述A，B，C都是结论成立的必要条件，不是充分条件，D是充要条件．故选D.3．如果a>0，b>0，则有(B)A.>2b－aB.≥2b－aC.<2b－aD.≤2b－a　要比较与2b－a的大小，因为a>0，即比较b2与2ab－a2的大小，因为a2＋b2≥2ab，所以b2≥2ab－a2，从而≥2b－a.

4、4．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的反设是(A)A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根　“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”⇔“方程x3＋ax＋b＝0的实根个数大于或等于1”，因此，要作的反设是方程x3＋ax＋b＝0没有实根．5．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，则方程f(x)＝0的根的情况为(A)A．至多有一个实根B．至少有一个实根C．有且只有一个实根D．无实根　假设方程有两个实根x1，x2，不妨设x1

5、，即f(x1)＝f(x2)＝0，又f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，应有f(x1)>f(x2)，矛盾，故假设不成立，所以方程至多有一个实根．综合法在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C.①因为A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B＝.由a，b，c成等比数列，有b2＝ac，③由余弦定理，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac.再由③，得a2＋c2－ac＝ac.即(a－c)2＝0，因此a＝c，从而有A＝C.所以A＝B＝C＝.

6、所以△ABC为等边三角形．综合法又叫顺推法，或者由因导果法，是数学中最常用的证明方法．1．(2018·山东聊城模拟)当定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件时，称f(x)为“友谊函数”：(1)对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；(2)f(1)＝1；(3)若x1≥0，x2≥0且x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立．则下列判断正确的是　①②③　.(填序号)①若f(x)为“友谊函数”，则f(0)＝0；②函数g(x)＝x在区间[0,1]上是“友谊函数”；③若f(x)为“友谊函数”，且0≤x1

7、函数”，取x1＝x2＝0，得f(0)≥f(0)＋f(0)，即f(0)≤0，又f(0)≥0，所以f(0)＝0，故①正确．②函数g(x)＝x在区间[0,1]上满足：g(x)≥0；g(1)＝1.若x1≥0，x2≥0且x1＋x2≤1，则有g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]＝(x1＋x2)－(x1＋x2)＝0，满足条件(3)．故g(x)＝x满足条件(1)，(2)，(3)，所以g(x)＝x在区间[0,1]上是“友谊函数”，