2020版高考数学第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程学案文（含解析）新人教A版

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1、第一节　直线的倾斜角与斜率、直线方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0°，180°)。2．直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tanθ；若直线的倾斜角θ＝90°，则斜率不存在。(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝。(x1≠x2)3．直线方程的五种形式名称条件

2、方程适用范围点斜式斜率k与点(x0，y0)y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式斜率k与截距by＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)＝不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)续表名称条件方程适用范围截距式截距a与b＋＝1(ab≠0)不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式—Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用1．直线倾斜角和斜率的关系(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率。(2)不是倾斜角越大，斜率k就越大，因为k＝

3、tanα，当α∈时，α越大，斜率k就越大，同样α∈时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠时就不是了。2．截距和距离的不同之处“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数。应注意过原点的特殊情况是否满足题意。一、走进教材1．(必修2P89A组T4改编)若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)A．1　　　　B．4C．1或3　　　D．1或4解析　由题意得＝1，解得m＝1。答案　A2．(必修2P100A组T9改编)过点P(2,3)且在两坐

4、标轴上截距相等的直线方程为________。解析　当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5，所以直线方程为x＋y－5＝0。答案　3x－2y＝0或x＋y－5＝0二、走近高考3．(2017·浙江高考)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q，则直线AP斜率的取值范围是________。解析　设P(x，x2)，直线AP的斜率为k，则k＝＝x－。因为－

5、。答案　(－1,1)三、走出误区微提醒：①由直线方程求斜率的思路不清；②忽视斜率和截距对直线位置的影响；③忽视直线斜率不存在的情况。4．直线l：xsin30°＋ycos150°＋a＝0的斜率为(　　)A．B．C．－D．－解析　设直线l的斜率为k，则k＝－＝。答案　A5．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析　由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三

6、象限。答案　C6．过直线l：y＝x上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为____________________。解析　①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；③若直线m的斜率k≠0，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－，依题意有××2＝2，即＝1，解得k＝，所以直线m的方程为y－2＝(x－2)，即x－2y＋2＝0。

7、综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2。答案　x－2y＋2＝0或x＝2　　考点一直线的斜率与倾斜角　　　　　　　【例1】　(1)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)A．B．C．∪D．∪(2)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直线l：mx＋y＋1＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________。解析　(1)由直线方程可得该直线的斜率为－，又－1≤－<0，所以倾斜角的取值范围是。(2)l：mx＋y＋1＝0可写成y＝－mx－1，即l过定

8、点R(0，－1)，直线PR的斜率k1＝＝－2，直线QR的斜率k2＝＝。因为直线l与线段PQ有交点，所以斜率k≥或k≤－2。又因为k＝－m，所以m≤－或m≥2。答案　(1)B　(2)∪[2，＋∞)斜率取值范围的两种求法1．数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定。2．函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可。【变式训练】　(1)平面上有相异两点A(cosθ，sin2θ)，B(0,1)，则直线AB的倾斜角α