(浙江专用)高考数学第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程教案(含解析)

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1、第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.(2)范围:直线l倾斜角的取值范围是[0,π).2.斜率公式(1)直线l的倾斜角为α(α≠),则斜率k=tan_α.(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1≠x2,则l的斜率k=.3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用范围斜截式纵截距、斜率y=kx+b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y-y0=k(x-x0)两点式过两点=与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截

2、距+=1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax+By+C=0(A2+B2≠0)所有直线4.线段的中点坐标公式若点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段P1P2的中点M的坐标为(x,y),则此公式为线段P1P2的中点坐标公式.[小题体验]1.设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°,得到直线l1,则直线l1的倾斜角为(  )A.α+45°         B.α-135°C.135°-αD.α+45°或α-135°解析:选D 由倾斜角的取值范围知,只有当0°≤α+45°<180°,即0°≤α<135°时,l1的倾斜角才是α+45°.而0

3、°≤α<180°,所以当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为α-135°,故选D.2.下列说法中正确的是(  )A.=k表示过点P1(x1,y1),且斜率为k的直线方程B.直线y=kx+b与y轴交于一点B(0,b),其中截距b=

4、OB

5、C.在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是+=1D.方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)表示过点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线解析:选D 对于A,直线不包括点P1,故A不正确;对于B,截距不是距离,是B点的纵坐标,其值可正可负,故B不正确;对于C,经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0,不能表示为+=1,故C不正

6、确;对于D,此方程为直线两点式方程的变形,故D正确.故选D.3.(2018·嘉兴检测)直线l1:x+y+2=0在x轴上的截距为________;若将l1绕它与y轴的交点顺时针旋转90°,则所得到的直线l2的方程为________________.解析:对于直线l1:x+y+2=0,令y=0,得x=-2,即直线l1在x轴上的截距为-2;令x=0,得y=-2,即l1与y轴的交点为(0,-2),直线l1的倾斜角为135°,∴直线l2的倾斜角为135°-90°=45°,∴l2的斜率为1,故l2的方程为y=x-2,即x-y-2=0.答案:-2 x-y-2=01.点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的

7、直线;两点式方程不能表示垂直于x,y轴的直线;截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线.2.截距不是距离,距离是非负值,而截距可正可负,可为零,在与截距有关的问题中,要注意讨论截距是否为零.3.求直线方程时,若不能断定直线是否具有斜率时,应注意分类讨论,即应对斜率是否存在加以讨论.[小题纠偏]1.直线xcosα+y+2=0的倾斜角的范围是(  )A.∪B.∪C.D.解析:选B 设直线的倾斜角为θ,则tanθ=-cosα,又cosα∈[-1,1],所以-≤tanθ≤,又0≤θ<π,且y=tanθ在和上均为增函数,故θ∈∪.故选B.2.过点(5,10),且到原点的距离为5的直线方程是___

8、_____.解析:当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0满足题意;当斜率存在时,设其为k,则所求直线方程为y-10=k(x-5),即kx-y+10-5k=0.由距离公式,得=5,解得k=.故所求直线方程为3x-4y+25=0.综上知,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.答案:x-5=0或3x-4y+25=0[题组练透]1.若直线l经过A(2,1),B(1,-m2)(m∈R)两点,则直线l的倾斜角α的取值范围是(  )A.B.C.D.解析:选C 因为直线l的斜率k=tanα==m2+1≥1,所以≤α<.故倾斜角α的取值范围是.2.经过P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1

9、,-2),B(2,1)的线段总有公共点,则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________,________.解析:如图所示,结合图形,若l与线段AB总有公共点,则kPA≤k≤kPB,而kPB>0,kPA<0,故k<0时,倾斜角α为钝角,k=0时,α=0,k>0时,α为锐角.又kPA==-1,kPB==1,∴-1≤k≤1.又当0≤k≤1时,0≤α≤;当-1≤k<0时,≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈∪.答案:

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