2020版高考数学第三单元导数及其应用课时5导数的综合应用——导数与方程课后作业文（含解析）新人教A版

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1、导数的综合应用——导数与方程　1．函数y＝x3＋x2＋x＋1的零点个数为(B)A．0B．1C．2D．3　因为f′(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，所以f(x)在R上单调递增，因为f(0)＝1>0，f(－3)＝－2<0，所以f(x)在R上有且只有一个零点．2．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝(A)A．－2或2B．－9或3C．－1或1D．－3或1　由三次函数的图象与x轴恰有两个公共点，结合函数的图象，极大值或极小值为零即可满足要求．而f′(x)＝3x2－3＝3(x－1

2、)(x＋1)，当x＝±1时，取得极值，由f(1)＝0或f(－1)＝0，可得c－2＝0或c＋2＝0，所以c＝±2.3．若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是(A)A．(－∞，0)B．(－∞，0]C．[0，＋∞)D．(0，＋∞)　该函数的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2ax＋.因为曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，问题转化为方程2ax＋＝0在(0，＋∞)内有解，于是可得a＝－∈(－∞，0)．4．(2017·湖南湘中名校高三联考)已知函数f(x)＝－x

3、3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，若x1

4、x2，依题意，作出简图，如图所示．结合图形可知，方程[f(x)]2－2af(x)－b＝0的实根个数不可能为5.5．(2018·韶关模拟)设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，且x1<2

5、b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是　①③④⑤　.(写出所有正确条件的编号)①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.　令f(x)＝x3＋ax＋b，则f′(x)＝3x2＋a.当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，④⑤正确；当a＜0时，若a＝－3，则f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，所以f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要使f(x)＝0仅有一个实根，

6、需f(x)极大＜0或f(x)极小＞0，所以b＜－2或b＞2，①③正确，②不正确．故填①③④⑤.7．(2016·北京卷)设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)设a＝b＝4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围；(3)求证：a2－3b＞0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件．　(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.因为f(0)＝c，f′(0)＝b，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))

7、处的切线方程为y＝bx＋c.(2)当a＝b＝4时，f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c，所以f′(x)＝3x2＋8x＋4.令f′(x)＝0，得3x2＋8x＋4＝0，解得x＝－2或x＝－.当x变化时，f(x)与f′(x)在区间(－∞，＋∞)上的变化情况如下：x(－∞，－2)－2(－2，－)－(－，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增c单调递减c－单调递增所以，当c＞0且c－＜0时，存在x1∈(－4，－2)，x2∈(－2，－)，x3∈(－，0)，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.由f(

8、x)的单调性知，当且仅当c∈(0，)时，函数f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c有三个不同零点．(3)证明：当Δ＝4a2－12b＜0时，f′(x)＝3x2＋2ax＋b＞0，x∈(－∞，＋∞)，此时函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递增，所以f(x)不可能有三个不同零点．当Δ＝4a2－12b＝0时，f′(x)＝3x2＋2ax＋b只有一个零点，记作x0.当x∈(－∞，x0)时，f′(x)＞0，f(x)在区间(－∞，x0)上单调递增；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，