2020届高考数学第三单元导数及其应用第19讲导数的综合应用——导数与方程练习理新人教A版

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1、第19讲　导数的综合应用——导数与方程1．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝(A)A．－2或2B．－9或3C．－1或1D．－3或1由三次函数的图象与x轴恰有两个公共点，结合函数的图象，可得极大值或极小值为零即可满足要求．而f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x＝±1时，取得极值，由f(1)＝0或f(－1)＝0，可得c－2＝0或c＋2＝0，所以c＝±2.2．若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是(A)A．(－∞，0)　　　B．(－∞，

2、0]C．[0，＋∞)　　　D．(0，＋∞)该函数的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2ax＋.因为曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，问题转化为方程2ax＋＝0在(0，＋∞)内有解，于是可得a＝－∈(－∞，0)．3．已知x0是函数f(x)＝2sinx－πlnx(x∈(0，π))的零点，设x1，x2∈(0，π)，且x10.其中正确的命题是(A)A．①④B．②④C．①③D．②③f′(x)＝2

3、cosx－.当x∈(0，)时，>2，f′(x)<0；当x＝时，f′(x)＝－2<0；当x∈(，π)时，1<<2，则f′(x)<0，综上可知，f′(x)<0，f(x)在(0，π)上为减函数，所以f(x1)>f(x2)，即f(x1)－f(x2)>0，④正确．因为f(1)＝2sin1－πln1＝2sin1>0，f(e)＝2sine－π<0，所以x0∈(1，e)，即①正确．4．(2018·汕头模拟)已知函数f(x)＝－mx有两个零点，则实数m的取值范围是(A)A.(0，)B．(0，)C．(－∞，)D．(－∞，)函

4、数f(x)＝－mx有两个零点⇔方程－mx＝0有两个不等实数根⇔函数y＝的图象与y＝mx的图象有两个不同交点，由y＝，得y′＝(x＞0)，所以当x∈(0，e)时，y′＞0，当x∈(e，＋∞)时，y′＜0.所以y＝在(0，e)上为增函数，在(e，＋∞)上为减函数，作出函数y＝与y＝mx的图形如图：设过原点的直线与y＝相切于(x0，)，则切线方程为y－＝(x－x0)．把O(0，0)代入，可得－＝－，解得x0＝.所以切点坐标为(，)．则原点与切点连线的斜率为k＝＝.则函数f(x)＝－mx有两个零点的实数m的取值范

5、围是(0，)．5．方程x3－3x＝k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是　(－2，2)　.令f(x)＝x3－3x，要使x3－3x＝k有三个不等的实根，则f(x)＝x3－3x与y＝k有3个交点．又f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0得x＝±1.故f′(x)在(－∞，－1]和[1，＋∞)上递增，在(－1,1)上递减，所以x＝－1时，f(x)取极大值2；x＝1时f(x)取极小值－2.根据单调性情况画出y＝x3－3x的大致图象，可得－2

6、条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是　①③④⑤　.(写出所有正确条件的编号)①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.令f(x)＝x3＋ax＋b，则f′(x)＝3x2＋a.当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，④⑤正确；当a＜0时，若a＝－3，则f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，所以f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要使f(x)＝0仅有一个实根，需f(x)极大＜0或f(

7、x)极小＞0，所以b＜－2或b＞2，①③正确，②不正确．故填①③④⑤.7．(2017·河西区二模节选)设函数f(x)＝x3－ax(a>0)，g(x)＝bx2＋2b－1.当b＝时，若函数h(x)＝f(x)＋g(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求实数a的取值范围．当b＝时，h(x)＝x3＋x2－ax－a(a>0)，所以h′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．所以h(x)在(－∞，－1)上递增，在(－1，a)上递减，在(a，＋∞)上递增．所以当x∈(－2,0)时，h(x)在(－2，－1)

8、上递增，在(－1,0)上递减．函数h(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，则即解得00，所以方程有两个实根t1，t2，不妨设t1