2020届高考数学第三单元导数及其应用第15讲导数的概念及运算练习理新人教A版

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1、第15讲　导数的概念及运算1．(2019·江西赣州期中试卷)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为(C)A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)x>0，f′(x)＝2x－2－＝>0，所以x∈(2，＋∞)．2．(2018·西安市长安一中第六次质检)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(B)A．－1B．0C．2D．4由图象可知曲线y＝f(x)

2、在x＝3处的切线的斜率等于－，所以f′(3)＝－，且f(3)＝1.因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×(－)＝0.3．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为(D)A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x(方法1)因为f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，所以f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－

3、f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，所以a＝1，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.(方法2)因为f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数，所以a＝1，即f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.4．(2016·山东卷)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线

4、互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是(A)A．y＝sinxB．y＝lnxC．y＝exD．y＝x3若y＝f(x)的图象上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.对于A，y′＝cosx，若有cosx1·cosx2＝－1，则存在x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立；对于B，y′＝，若有·＝－1，即x1x2＝－1，因为x＞0，所以不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；对于C，y′＝ex，若有e

5、x1·ex2＝－1，即ex1＋x2＝－1，显然不存在这样的x1，x2；对于D，y′＝3x2，若有3x·3x＝－1，即9xx＝－1，显然不存在这样的x1，x2.综上所述，选A.5．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝__－3__．因为y′＝(ax＋a＋1)ex，所以当x＝0时，y′＝a＋1，所以a＋1＝－2，得a＝－3.6．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f[f(0)]＝　2　；li＝　－2

6、　.(用数字作答)f[f(0)]＝f(4)＝2.因为直线AB的方程为y＝－2x＋4(0≤x≤2)，所以y′＝－2.所以li＝f′(1)＝－2.7．(2018·佛山一模节选)已知函数f(x)＝(x－a)lnx＋x，(其中a∈R)．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y＝x，求a的值．f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx－＋，由题意知则解得或所以a＝1.8．(2018·广东七校联考)函数f(x)＝xcosx的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是(A)因为f′(x)＝co

7、sx－xsinx，所以f′(0)＝1，所以排除C、D，令g(x)＝cosx－xsinx，则g′(x)＝－2sinx－xcosx，当x∈(0，)时，g′(x)<0，所以g(x)即f′(x)在(0，)上单调递减，所以排除B，故选A.9．(2018·重庆七校联考)若对于曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)的任意切线l1，总存在曲线g(x)＝ax＋2cosx的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为　[－1,2]　.设曲线f(x)和g(x)的切点分别为(x1，f(x1))，(x2，g(x2))，易知k1

8、＝－ex1－1，k2＝a－2sinx2，x1，x2∈R，因为l1⊥l2，所以(－ex1－1)·(a－2sinx2)＝－1，即a－2sinx2＝.令u(x2)＝a－2sinx2，v(x1)＝，则它们的值域分别为[a－2，a＋2]与(0,1)，由题意知，对任意的x1，总存在x2，使得上述等式成立，所以(0,1)⊆[a－2，a＋2]，所以a－2≤0且a＋2≥1，即－1≤a≤2.所以a的取值范