2020版高考数学第三单元导数及其应用课时2导数在函数中的应用——单调性教案文（含解析）新人教A版

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1、导数在函数中的应用——单调性1．了解函数的单调性与其导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．知识梳理1．函数的单调性与导数的关系设函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内有导数．如果f′(x)＞0，则f(x)在(a，b)上为　增　函数；如果f′(x)＜0，则f(x)在(a，b)上为　减　函数．2．导数与函数单调性的关系设函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)的任意子集内都不恒等于0.如果f(x)在区间(a，b)内单调递增，则在(a，b)内f′(x)　≥　0恒成立；如果f(x)在

2、区间(a，b)内单调递减，则在(a，b)内f′(x)　≤　0恒成立．热身练习1．“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件　f′(x)>0在(a，b)上成立⇒f(x)在(a，b)上单调递增；反之，不一定成立，如y＝x3在(－1,1)上单调递增，但在(－1，1)上f′(x)＝3x2≥0.2．设f(x)＝2x2－x3，则f(x)的单调递减区间是(D)A．(0，)B．(，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0)和(，＋∞)　f′(x)＝4x－3x2<0⇒x

3、<0或x>.3．函数f(x)＝(3－x2)ex的单调递增区间是(D)A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，－3)和(1，＋∞)D．(－3,1)　因为f′(x)＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex，令f′(x)>0，得x2＋2x－3<0，解得－3

4、1，x2)，(x4，b)　.5.(2019·福建三明期中)函数f(x)＝x3－3bx＋1在区间[1,2]上是减函数，则实数b的取值范围为　[4，＋∞)　.　因为f′(x)＝3x2－3b≤0，所以b≥x2，要使b≥x2在[1,2]上恒成立，令g(x)＝x2，x∈[1,2]，当x∈[1,2]，1≤g(x)≤4，所以b≥4.利用导数求函数的单调区间函数f(x)＝x2－2x－4lnx的单调递增区间是____________．函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2x－2－＝，由f′(x)>0，得x2－x－2>0，解得x>2或x<－1(舍去)．所以f(x)

5、的单调递增区间为(2，＋∞)．(2，＋∞)求可导函数f(x)的单调区间的步骤：①求函数f(x)的定义域；②求导数f′(x)；③解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；④确定函数y＝f(x)的单调区间：使f′(x)＞0的x的取值区间为增区间，使f′(x)＜0的x的取值区间为减区间．1．(2017·全国卷Ⅱ节选)设函数f(x)＝(1－x2)ex.讨论f(x)的单调性．f′(x)＝(1－2x－x2)ex.令f′(x)＝0得x＝－1－或x＝－1＋.当x∈(－∞，－1－)时，f′(x)<0；当x∈(－1－，－1＋)时，f′(x)>0；当x∈(－1＋，＋∞)时，f′(

6、x)<0.所以f(x)在(－∞，－1－)，(－1＋，＋∞)上单调递减，在(－1－，－1＋)上单调递增．已知函数的单调性求参数的范围(经典真题)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)依题意得f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥在(1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝，因为x>1，所以0

7、问题．2．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是(C)A．[－1,1]B．[－1，]C．[－，]D．[－1，]　　(方法一)因为f(x)在(－∞，＋∞)单调递增，所以f′(x)＝1－cos2x＋acosx≥0对x∈(－∞，＋∞)恒成立，即f′(x)＝－cos2x＋acosx＋≥0对x∈(－∞，＋∞)恒成立，令cosx＝t，－1≤t≤1，则等价于：g(t)＝－t2＋at＋≥0对t∈[－1,1]恒成立．等价于即所以－≤a≤.即a的取值范围为[－，]．(方法二：特殊值法)取a＝－1，则f(x)＝

8、x－sin2x－sinx，f′(x)＝1－cos2x－cosx，因