2020版高考数学第三单元导数及其应用课时3导数在函数中的应用——极值与最值教案文（含解析）新人教A版

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1、导数在函数中的应用——极值与最值1．掌握函数极值的定义及可导函数的极值点的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)．2．会研究一些简单函数的极值．3．会利用导数求一些函数在给定区间上的最值．知识梳理1．函数的极值(1)函数极值的定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)＜f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有点，都有f(x)＞f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值

2、＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值.(2)判断可导函数f(x)的极值的方法是：①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．2．函数的最值(1)(最值定理)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)一般地，求函数f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数f(x)在(a，b)内的极值.②将f(x)的

3、极值和端点的函数值比较，其中最大的一个为最大值；最小的一个为最小值.热身练习1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(A)A．1个B．2个C．3个D．4个因为f′(x)与x轴有4个交点，即f′(x)＝0有4个解，但仅左边第二个交点x＝x0满足x＜x0时，f′(x)＜0；x＞x0时，f′(x)＞0，其他交点均不符合该条件．2．函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)

4、的极值点，则(C)A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件因为函数f(x)在x＝x0处可导，所以若x＝x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0，所以q⇒p，故p是q的必要条件；3反之，以f(x)＝x为例，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．所以pq．故p不是q的充分条件．33．(2016·四川卷)已知a为函数f(x)＝x－12x的极小值点，则a＝(D)A．－4B．－2C．4D．22由

5、题意得f′(x)＝3x－12，令f′(x)＝0得x＝±2，所以当x＜－2或x＞2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．所以f(x)在x＝2处取得极小值，所以a＝2.34．函数f(x)＝x－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是(C)A．1，－1B．1，－17C．3，－17D．9，－192令f′(x)＝3x－3＝0，得x＝±1.f(1)＝1－3＋1＝－1，f(－1)＝－1＋3＋

6、1＝3，f(－3)＝－17，f(0)＝1.所以最大值为3，最小值为－17.x5．(2016·北京卷)函数f(x)＝(x≥2)的最大值为2.x－1x－1－x1f′(x)＝＝－，22x－1x－1当x≥2时，f′(x)＜0，所以f(x)在[2，＋∞)上是减函数，2故f(x)max＝f(2)＝＝2.2－1求函数的极值、最值13求函数f(x)＝x－4x＋4的极值．32因为f′(x)＝x－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝±2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2

7、)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋284f(x)－3328所以当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝；34当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－.3(1)求可导函数f(x)的极值的步骤：①确定函数的定义域，求导数f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程根左、右值的符号；④作出结论：如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．(2)求可导函数f(x)在[a，b]上最值的步骤：①求f(x)在(a，b)内

8、的极值；②将f(x)各极值与f(a)，f(b)比较，得出f(x)在[a，b]上的最值．131．求函数f(x)＝x－4x＋4在[－3,3]上的最大值与最小值．3由例1可知，在[－3,3]上，28当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝；34当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－.3又f(－3)＝7，f(3)＝1，284所以f(x)在[－3,3]上的最大值为，最小值为－.33含参数的函数的极值的讨论已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)，求函数f(x)的极值．ax－a由f′(x)＝1－＝(x>