2020版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第8讲曲线与方程教案理（含解析）新人教A版

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1、第8讲　曲线与方程基础知识整合1．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．2．曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点．3．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系；(2

2、)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)；(3)列式——列出动点P所满足的关系式；(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简；(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．求轨迹问题常用的数学思想(1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x，y的方程及函数关系．(2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数

3、”与“形”的有机结合．(3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化．1．(2019·云南质量检测)已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为(　　)A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±)D．x2＋y2＝4(x≠±2)答案　D解析　MN的中点为原点O，易知

4、OP

5、＝

6、MN

7、＝2，∴P的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆，除去与x轴的两个交点，即顶点P的轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)，故选D.2．(2019·

8、金华模拟)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且

9、PM

10、＝

11、MQ

12、，则Q点的轨迹方程是(　　)A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0答案　D解析　设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得Q点的轨迹方程为2x－y＋5＝0.3．已知平面内有一条线段AB，其长度为4，动点P满足

13、PA

14、－

15、PB

16、＝3，O为AB的中点，则

17、OP

18、的最小值为(　　)A．1B.C．2D．3答案　B解析　以AB中点为原点，

19、中垂线为y轴建立直角坐标系，P点的轨迹为双曲线c＝2，a＝1.5，∴

20、OP

21、min＝a＝1.5.4．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．答案　＋＝1(y≠0)解析　设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则

22、AA1

23、＋

24、BB1

25、＝2

26、OO1

27、＝4，由抛物线定义得

28、AA1

29、＋

30、BB1

31、＝

32、FA

33、＋

34、FB

35、，所以

36、FA

37、＋

38、FB

39、＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)

40、，所以抛物线的焦点轨迹方程为＋＝1(y≠0)．5．(2019·人大附中模拟)在平面直角坐标系xOy中，设点P(x，y)，M(x，－4)，以线段PM为直径的圆经过原点O.则动点P的轨迹方程为________．答案　x2＝4y解析　由题意可得OP⊥OM，所以·＝0，所以(x，y)·(x，－4)＝0，即x2－4y＝0，所以动点P的轨迹方程为x2＝4y.6．(2019·武汉模拟)如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且

41、MD

42、＝

43、PD

44、.当P在圆上运动时，点M的轨迹C的方程为___

45、_____．答案　＋＝1解析　设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(xP，yP)，由已知得因为P在圆上，所以x2＋2＝25，即轨迹C的方程为＋＝1.核心考向突破考向一　定义法求轨迹例1　(2019·大庆模拟)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解　如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，则有

46、MC1

47、－

48、AC1

49、＝

50、MA

51、，

52、MC2

53、－

54、BC2

55、＝

56、MB

57、.又

58、MA

59、＝

60、MB

61、，所以

62、MC2

63、－

64、MC1

65、＝

66、

67、BC2

68、－

69、AC1

70、＝3－1＝2，即动点M到两定点C2，C1的距离的差是常数2，且2<

71、C1C2

72、＝6，

73、MC2

74、>

75、MC1

76、，故动圆圆心M的轨迹为以定点C2，C1为焦点的双曲线的左支，则2a＝2，所以a＝1.又c＝3，则b2＝c2－a2＝8.设动圆圆心M的坐标为(x，y)，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．触类旁通定义法求轨迹方程及其注意点(