2020版高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第8讲 曲线与方程讲义 理(含解析)

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1、第8讲 曲线与方程[考纲解读] 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系,能用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题.(重点)2.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程,并掌握求曲线方程的两种常见题型:①根据曲线确定方程,可用待定系数法;②求轨迹方程,可用直接法、定义法、代入法(相关点法)、参数法.(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是高考中的一个命题热点.预测2020年高考将会有以下两种命题方式:①用定义法求曲线的方程;②由已知条件直接求曲线的方程.题型为解答题中的一问,试题难度中等偏上.考查知识点多,能力要求较高

2、,尤其是运算变形能力.解题时注意函数与方程思想及等价转化思想的应用.求曲线方程的基本步骤1.概念辨析(1)f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.(  )(2)方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线.(  )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2=y2.(  )(4)方程y=与x=y2表示同一曲线.(  )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×                   2.小题热身(1)已知点A(-2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足·=x2-6,则点P的

3、轨迹是(  )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案 D解析 ∵=(-2-x,-y),=(3-x,-y),则·=(-2-x)(3-x)+(-y)2=x2-6,化简得y2=x,轨迹为抛物线.(2)方程x=所表示的曲线是(  )A.双曲线的一部分B.椭圆的一部分C.圆的一部分D.直线的一部分答案 B解析 x=两边平方,可变为x2+4y2=1(x≥0),表示的曲线为椭圆的一部分.(3)已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且

4、PM

5、=

6、MQ

7、,则Q点的轨迹方程是(  )A.2x+y+1=0

8、B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0D.2x-y+5=0答案 D解析 设Q(x,y),则P为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0得2x-y+5=0.(4)已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________.答案 x2+y2=4(y≠0)解析 由题意得点P的轨迹是以线段MN为直径的圆(除去M,N两点),其圆心坐标为(0,0),半径r=

9、MN

10、=2,所以点P的轨迹方程是x2+y2=4(y≠0).题型 定义法求轨迹方程1.过点F(0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为(

11、  )A.x2=12yB.y2=-12xC.y2=12xD.x2=-12y答案 A解析 由题意得动圆圆心到点F(0,3)和直线y=-3的距离相等,所以动圆圆心的轨迹是以F(0,3)为焦点,直线y=-3为准线的抛物线,其方程为x2=12y.2.如图所示,已知点C为圆(x+)2+y2=4的圆心,点A(,0).P是圆上的动点,点Q在圆的半径CP所在的直线上,且·=0,=2.当点P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程.解 由(x+)2+y2=4知圆心C(-,0),半径r=2.∵·=0,=2,∴MQ⊥AP,点M为AP的中点,因此QM垂直平分线段AP.如

12、图,连接AQ,则

13、AQ

14、=

15、QP

16、,∴

17、

18、QC

19、-

20、QA

21、

22、=

23、

24、QC

25、-

26、QP

27、

28、=

29、CP

30、=2.又

31、AC

32、=2>2,根据双曲线的定义,点Q的轨迹是以C(-,0),A(,0)为焦点,实轴长为2的双曲线.由c=,a=1,得b2=1,由此点Q的轨迹方程为x2-y2=1.条件探究 若将举例说明2中的条件“圆C的方程(x+)2+y2=4”改为“圆C的方程(x+)2+y2=16”,其他条件不变,求点Q的轨迹方程.解 由(x+)2+y2=16知圆心C(-,0),半径r=4.∵·=0,=2,∴QM垂直平分AP,连接AQ,则

33、AQ

34、=

35、QP

36、,∴

37、Q

38、C

39、+

40、QA

41、=

42、QC

43、+

44、QP

45、=r=4.根据椭圆的定义,点Q的轨迹是以C(-,0),A(,0)为焦点,长轴长为4的椭圆.由c=,a=2,得b=.因此点Q的轨迹方程为+=1.定义法求轨迹方程的适用条件及关键点(1)求轨迹方程时,若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,则可直接根据定义先确定轨迹类型,再写出其方程,见举例说明1,2.(2)理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键.(3)利用定义法求轨迹方程时,还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.见

46、巩固迁移.                   △ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆的圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是________.答案 -=1(x>3)解析 如图,

47、A

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