2020届高考数学一轮复习讲练测专题3.4导数的综合应用（讲）文（含解析）

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1、专题3.4导数的综合应用1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；2.会利用导数解决某些简单的实际问题。考点一　利用导数证明不等式【典例1】【2019年高考天津】设函数为的导函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，证明；（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明．【答案】（Ⅰ）的单调递增区间为的单调递减区间为.（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.【解析】（Ⅰ）由已知，有．因此，当时，有，得，则单调递减；当时，有，得，则单调递增．所以，的单调递增区间为的单调递减区间为．（Ⅱ）证明：记．依题意及（Ⅰ），有，从而．当时，，故

2、．因此，在区间上单调递减，进而．所以，当时，．（Ⅲ）证明：依题意，，即．记，则，且．由及（Ⅰ），得．由（Ⅱ）知，当时，，所以在上为减函数，因此．又由（Ⅱ）知，，故．所以，．【变式1】(2019·山东师大附属中学模拟)已知函数f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx(e为自然对数的底数)，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直．(1)求a，b的值；(2)求证：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥.【解析】(1)因为f(x)＝1－，所以f′(x)＝，f′(1)＝－1.因为g(x)＝＋－bx，所以g′(x)＝－

3、－－b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g(1)＝1，且f′(1)·g′(1)＝－1，即g(1)＝a＋1－b＝1，g′(1)＝－a－1－b＝1，解得a＝－1，b＝－1.(2)证明：由(1)知，g(x)＝－＋＋x，则f(x)＋g(x)≥⇔1－－－＋x≥0.令h(x)＝1－－－＋x(x≥1)，则h′(x)＝－＋＋＋1＝＋＋1.因为x≥1，所以h′(x)＝＋＋1＞0，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以h(x)≥h(1)＝0，即1－－－＋x≥0，所以当x≥1时，f(x)＋g(x)≥

4、.考点二不等式恒成立【典例2】【2019年高考浙江】已知实数，设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）对任意均有求的取值范围．注：e=2.71828…为自然对数的底数．【答案】（1）的单调递增区间是,单调递减区间是；（2）.【解析】（1）当时，．，所以，函数的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）．（2）由，得．当时，等价于．令，则．设，则．（i）当时，，则．记，则.故10+单调递减极小值单调递增所以，．因此，．（ii）当时，．令，则，故在上单调递增，所以．由（i）得，．所以，．因此．由（i）（ii）知对任意，，即对任意，均有．综

5、上所述，所求a的取值范围是．【方法技巧】1.破解此类题需“一形一分类”，“一形”是指会结合函数的图象，对函数进行求导，然后判断其极值，从而得到含有参数的方程组，解方程组，即可求出参数的值；“一分类”是指对不等式恒成立问题，常需对参数进行分类讨论，求出参数的取值范围。2.利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式，通过求函数y＝f(x)的最值求得参数范围。【变式2】（2019·湖北黄冈中学模拟）已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx(a∈R).(1)若f(x)在区间[1，2]

6、上是单调函数，求实数a的取值范围；(2)函数g(x)＝(1－a)x，若∃x0∈[1，e]使得f(x0)≥g(x0)成立，求实数a的取值范围.【解析】　(1)f′(x)＝，当导函数f′(x)的零点x＝a落在区间(1，2)内时，函数f(x)在区间[1，2]上就不是单调函数，即a∉(1，2)，所以实数a的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞).(2)由题意知，不等式f(x)≥g(x)在区间[1，e]上有解，即x2－2x＋a(lnx－x)≥0在区间[1，e]上有解.因为当x∈[1，e]时，lnx≤1≤x(不同时取等号)，x－lnx>0，所以a≤在区间[1

7、，e]上有解.令h(x)＝，则h′(x)＝.因为x∈[1，e]，所以x＋2>2≥2lnx，所以h′(x)≥0，h(x)在[1，e]上单调递增，所以x∈[1，e]时，h(x)max＝h(e)＝，所以a≤，所以实数a的取值范围是.考点三判断零点的个数【典例3】(2019·湖北合肥一中质检)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x

8、－1≤x≤3，x∈R}.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝－4lnx的零点个数.【解析】　(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x

9、－1≤x

10、≤3，x∈R}，∴设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.故函数f(x)