2020届高考数学一轮复习考点43直线、平面垂直的判定与性质必刷题理（含解析）

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1、考点43直线、平面垂直的判定与性质1．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学（理）如图，四边形为矩形，平面平面，，，，，点在线段上.（1）求证：平面；（2）若二面角的余弦值为，求的长度.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：∵，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面.（2）以为原点，以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴，，由题知，平面，∴为平面的一个法向量，设，则，∴，设平面的一个法向量为，则，∴，令，可得，∴，得或（舍去），∴.2．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检

2、测）如图，在三棱柱中，，侧面底面，，分别为棱和的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】（1）取的中点，连接，，在中，因为，分别为，的中点，所以，且，在三棱柱中，，又为棱的中点，所以且，从而四边形为平行四边形，于是，又因为面，面，所以平面.（2）证明：在中，因为，为的中点，所以，又因为侧面底面，侧面底面，且面，所以平面，又面，所以平面平面.3．（江苏省南通市2019届高三模拟练习卷四模）如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点．（1）求证：；（2）求证：．【答案】(1)见详解；（

3、2）见详解.【解析】（1）连接AC1，设AC1∩A1C＝O，连接OD，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1是平行四边形，所以：O为AC1的中点，又因为：D是棱AB的中点，所以：OD∥BC1，又因为：BC1⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，所以：BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可知：侧面ACC1A1是平行四边形，因为：AC＝AA1，所以：平行四边形ACC1A1是菱形，所以：AC1⊥A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，因为：AB⊂平面ABC，所以：AB⊥AA1，又因为：AB⊥AC

4、，AC∩AA1＝A，AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，所以：AB⊥平面ACC1A1，因为：A1C⊂平面ACC1A1，所以：AB⊥A1C，又因为：AC1⊥A1C，AB∩AC1＝A，AB⊂平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，所以：A1C⊥平面ABC1，因为：BC1⊂平面ABC1，所以：BC1⊥A1C．4．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）如图，在四棱锥中，底面是正方形，与交于点，底面，为上一点，为中点.（1）若平面，求证：为的中点；（2）若，求证：平面.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】

5、（1）连接，由四边形是正方形知，为中点平面，面，面面为中点为的中点（2）在四棱锥中，四边形是正方形为中点又底面，底面而四边形是正方形平面，平面又平面平面，平面5．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试数学理）如图四棱锥中，底面是正方形，，且，为中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：∵底面为正方形，∴，又，∴平面，∴.同理，∴平面.（2）建立如图的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2则，设为平面的一个法向量，又，，令，得.同理是平面的一个法向量，则.

6、∴二面角的正弦值为.6．（江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟考试理）如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点．（1）求和平面所成的角的大小．（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】解：（1）在四棱锥中，∵平面，平面，∴．又，，∴平面．故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角．在中，，故．所以和平面所成的角的大小为．（2）在四棱锥中，∵平面，平面，∴．由条件，，∴平面．又∵平面，∴．由，，可得．∵是的中点，∴．又∵，∴平面．过点作，垂足为，连接，如图所示．∵平面，在平面内的射影是，∴．∴是二面角的平面角．由已

7、知∵，∴设，则，，，．中，．在中，∵，∴，得．在中，．所以二面角的正弦值为．7．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）如图在直角中，为直角，，，分别为，的中点，将沿折起，使点到达点的位置，连接，，为的中点．（Ⅰ）证明：面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】证明：（Ⅰ）取中点，连结、，∵，，∴四边形是平行四边形，∵，，，∴，∴，∴，在中，，又∵为的中点，∴，又∵，∴．解：（Ⅱ）∵，，，∴，以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，∴，，，设面的法向量，

8、则，取，得，同理，得平面的法向量，设二面角的平面角为，则，∴二面角的余弦值为．8．（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学理）已知四棱锥，底面为菱形，,为上的点，过的平面分别交，于点，，且平面．（1）证明：；（2）当为的中点，，与平面所成的角为，求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)见证明(2)【解