2020届高考数学第六单元数列与算法第37讲等差数列的概念及基本运算练习理新人教A版

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1、第37讲　等差数列的概念及基本运算1．已知正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n≥2)，则a6等于(D)A．16B．8C．2D．4由2a＝a＋a可知数列{a}是等差数列，且首项为a＝1，公差d＝a－a＝4－1＝3.所以{a}的通项a＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝.所以a6＝＝4.2．(2018·武汉二月调研)在等差数列{an}中，前n项和Sn满足S7－S2＝45，则a5＝(B)A．7B．9C．14D．18因为S7－S2＝a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝45，所以5a5＝45，所以a5＝9.3．(2018·长沙模拟)各项均为

2、正数的等差数列{an}中，a4a9＝36，则前12项和S12的最小值为(D)A．78B．48C．60D．72因为S12＝×12＝6(a1＋a12)＝6(a4＋a9)≥6×2＝12＝72.4．(2016·湖北八校第一次联考)等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝＋1，则数列{an}的公差为(B)A．1B．2C．2015D．2016(方法１)由Sn＝，得＝，所以－＝－＝＝＝1，所以d＝2.(方法２)由Sn＝na1＋d，得－＝(a1＋d)－(a1＋d)＝＝1，所以d＝2.5．(2018·北京卷)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an

3、}的通项公式为__an＝6n－3__．(方法1)设公差为d.因为a2＋a5＝36，所以(a1＋d)＋(a1＋4d)＝36，所以2a1＋5d＝36.因为a1＝3，所以d＝6，所以通项公式an＝a1＋(n－1)d＝6n－3.(方法2)设公差为d，因为a2＋a5＝a1＋a6＝36，a1＝3，所以a6＝33，所以d＝＝6.因为a1＝3，所以通项公式an＝6n－3.6．(经典真题)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝　－　.由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1·Sn，两边同除以Sn＋1·Sn，得－＝－1，故数列

4、是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.7．(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值．(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7，得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－9.(2)由(1)得Sn＝·n＝n2－8n＝(n－4)2－16.所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.8．(2016·浙江卷)如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边

5、上，且

6、AnAn＋1

7、＝

8、An＋1An＋2

9、，An≠An＋2，n∈N*，

10、BnBn＋1

11、＝

12、Bn＋1Bn＋2

13、，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝

14、AnBn

15、，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则(A)A．{Sn}是等差数列B．{S}是等差数列C．{dn}是等差数列D．{d}是等差数列(方法１)先求出三角形的面积，再利用等差数列的定义判断数列是否为等差数列．作A1C1，A2C2，A3C3，…，AnCn垂直于直线B1Bn，垂足分别为C1，C2，C3，…，Cn，则A1C1∥A2C2∥…∥AnCn.因为

16、AnAn＋1

17、＝

18、An＋

19、1An＋2

20、，所以

21、CnCn＋1

22、＝

23、Cn＋1Cn＋2

24、.设

25、A1C1

26、＝a，

27、A2C2

28、＝b，

29、B1B2

30、＝c，则

31、A3C3

32、＝2b－a，…，

33、AnCn

34、＝(n－1)b－(n－2)a(n≥3)，所以Sn＝c[(n－1)b－(n－2)a]＝c[(b－a)n＋(2a－b)]，所以Sn＋1－Sn＝c[(b－a)(n＋1)＋(2a－b)－(b－a)n－(2a－b)]＝c(b－a)，所以数列{Sn}是等差数列．(方法２)利用等差中项的性质进行判断．由题意可得，Sn＝hn·

35、BnBn＋1

36、，因为

37、BnBn＋1

38、＝

39、Bn＋1Bn＋2

40、，不妨设

41、BnBn＋1

42、＝

43、2，则Sn＝hn.因为hn是顶点An到边Bn－1Bn的距离，hn＋1是顶点An＋1到边BnBn＋1的距离．由梯形的中位线性质可知：2hn＝hn－1＋hn＋1，故{hn}是等差数列，所以{Sn}是等差数列．9．(2018·江西南昌市一模)已知x2＋y2＝4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为　　.设在两个实数x，y之间插入三个实数后，这五个数为x，a1，a2，a3，y.因为这五个数构成等差数列，所以这个等差数列后三项和为a2＋a3＋y＝＋＋y＝(x＋3y)．(方法１)由x2＋y2＝4，可设x

44、＝2cosθ，y＝2sinθ，则x＋3y＝2(cosθ＋3sinθ)≤2＝2.所以a2＋a3＋y＝(x＋3y)≤×2＝.(