2020届高考数学第六单元数列与算法第41讲数列的综合问题练习理新人教A版

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1、第41讲　数列的综合问题1．(2017·长春市高三质量监测(二))已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－1(n∈N*)．(1)若数列{bn}满足bn＝an－，求证：{bn}是等比数列；(2)若数列{cn}满足cn＝log3an，Tn＝c1＋c2＋…＋cn，求证Tn>.(1)由已知得an＋1－＝3(an－)(n∈N*)，从而有bn＋1＝3bn，又b1＝a1－＝1，所以数列{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得bn＝3n－1，从而an＝3n－1＋，cn＝log3(3n－1＋)>log33n－1＝n－1，所以Tn＝c1＋c2＋

2、c3＋…＋cn>0＋1＋2＋…＋n－1＝，所以Tn>.2．(2016·四川卷)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.(1)若2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{an}的通项公式；(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝，证明：e1＋e2＋…＋en>.(1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1.又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，故an＋1＝qan对所有n≥1都成立，所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列

3、．从而an＝qn－1.由2a2，a3，a2＋2成等差数列，可得2a3＝3a2＋2，即2q2＝3q＋2，则(2q＋1)(q－2)＝0.由已知，q>0，故q＝2.所以an＝2n－1(n∈N*)．(2)证明：由(1)可知，an＝qn－1，所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝.由e2＝＝解得q＝.因为1＋q2(k－1)＞q2(k－1)，所以＞qk－1(k∈N*)．于是e1＋e2＋…＋en＞1＋q＋…＋qn－1＝，故e1＋e2＋…＋en＞.3．(2018·浙江卷)已知等比数列{an}的公比q>1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中项．数列

4、{bn}满足b1＝1，数列{(bn＋1－bn)an}的前n项和为2n2＋n.(1)求q的值；(2)求数列{bn}的通项公式．(1)由a4＋2是a3，a5的等差中项，得a3＋a5＝2a4＋4，所以a3＋a4＋a5＝3a4＋4＝28，解得a4＝8.由a3＋a5＝20，得8(q＋)＝20，解得q＝2或q＝.因为q>1，所以q＝2.(2)设cn＝(bn＋1－bn)an，数列{cn}的前n项和为Sn.由cn＝解得cn＝4n－1.由(1)可得an＝2n－1，所以bn＋1－bn＝(4n－1)×()n－1，故bn－bn－1＝(4n－5)×()n－2，n≥2，bn－

5、b1＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＝(4n－5)×()n－2＋(4n－9)×()n－3＋…＋7×＋3.设Tn＝3＋7×＋11×()2＋…＋(4n－5)×()n－2，n≥2，则Tn＝3×＋7×()2＋…＋(4n－9)×()n－2＋(4n－5)×()n－1，所以Tn＝3＋4×＋4×()2＋…＋4×()n－2－(4n－5)×()n－1，因此Tn＝14－(4n＋3)×()n－2，n≥2.又b1＝1，所以bn＝15－(4n＋3)×()n－2.又当n＝1，bn＝1＝b1满足上式，所以bn＝15－(4n＋3)×(

6、)n－2.4．设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的正整数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(＋)(n∈N*)，求证：b1＋b2＋b3＋…＋bn<1＋n.(1)由已知＝(n∈N*)，整理得Sn＝(an＋2)2，所以Sn＋1＝(an＋1＋2)2.所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝[(an＋1＋2)2－(an＋2)2]＝(a＋4an＋1－a－4an)，整理得(an＋1＋an)(an＋1－an－4)＝0，由题意知an＋1＋an≠0，而a1＝2，所以an＋1－an＝4，即数列{an

7、}是a1＝2，d＝4的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝4n－2.(2)证明：令cn＝bn－1，则cn＝(＋－2)＝[(－1)＋(－1)]＝－.故b1＋b2＋…＋bn－n＝c1＋c2＋…＋cn＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－<1.故b1＋b2＋…＋bn<1＋n.