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时间:2019-09-23
《2020届高考数学一轮复习第二篇函数及其性质专题2.3函数的奇偶性与周期性练习(含解析)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题2.3 函数的奇偶性与周期性【考试要求】 1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义;2.结合三角函数,了解周期性的概念和几何意义.【知识梳理】1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的
2、任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【微点提醒】1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(
3、x
4、).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任
5、一自变量的值x:(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).(2)若f(x+a)=,则T=2a(a>0).(3)若f(x+a)=-,则T=2a(a>0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.【疑误辨析】1.判断下列结论
6、正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y=x2在x∈(0,+∞)时是偶函数.( )(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.( )(3)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.( )(4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.( )【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√【解析】(1)由于偶函数的定义域关于原点对称,故y=x2在(0,+∞)上不具有奇偶性,(1)错.(2)由奇函数定义可知,若f(x)为奇函
7、数,其在x=0处有意义时才满足f(0)=0,(2)错.(3)由周期函数的定义,(3)正确.(4)由于y=f(x+b)的图象关于(0,0)对称,根据图象平移变换,知y=f(x)的图象关于(b,0)对称,正确.【教材衍化】2.(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是( )A.y=x2sinxB.y=x2cosxC.y=
8、lnx
9、D.y=2-x【答案】 B【解析】 根据偶函数的定义知偶函数满足f(-x)=f(x)且定义域关于原点对称,A选项为奇函数;B选项为偶函数;C选项定义域为(0,+∞),不具
10、有奇偶性;D选项既不是奇函数,也不是偶函数.3.(必修4P46A10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=则f=________.【答案】 1【解析】 由题意得,f=f=-4×+2=1.【真题体验】4.(2019·济南调研)下列函数既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A.y=x3B.y=xC.y=
11、x
12、D.y=
13、tanx
14、【答案】 C【解析】 对于A,y=x3为奇函数,不符合题意;对于B,y=x是非奇非偶函数,不符合题意;对于D,y=
15、tanx
16、
17、是偶函数,但在区间(0,+∞)上不单调递增.5.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=________.【答案】 12【解析】 ∵x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,且f(x)在R上为奇函数,∴f(2)=-f(-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12.6.(2019·上海崇明区二模)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则当x∈[1,2]时,f(x)=
18、________.【答案】 log2(3-x)【解析】 当x∈[1,2]时,x-2∈[-1,0],2-x∈[0,1],又f(x)在R是上以2为周期的偶函数,∴f(x)=f(x-2)=f(2-x)=log2(2-x+1)=log2(3-x).【考点聚焦】考点一 判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=+;(2)f(x)=;(3)f(x)=【答案】见解析【解析】 (1)由得x2=3,解得x=±,即函数f(x)的定义域为{-,},从而f(x)=+=0.
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