简单回归与相关分析

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1、第七章一元回归分析与简单相关分析变量间的关系有两类：一类是变量间存在着完全确定性的关系，可以用精确的数学表达式来表示。如长方形的面积（S）与长（a）和宽（b）的关系可以表达为：S=ab它们之间的关系是确定性的，只要知道了其中两个变量的值就可以精确地计算出另一个变量的值，这类变量间的关系称为函数关系。另一类是变量间不存在完全的确定性关系，不能用精确的数学公式来表示。例如：黄牛的体长与体重的关系；仔猪初生重与断奶重的关系；猪瘦肉率与背膘厚度、眼肌面积、胴体长等的关系等等。这些变量间都存在着十分密切的关系，但不能由一个或几个变量的值精确地求出另一个变量的

2、值。统计学中把这些变量间的关系称为相关关系，把存在相关关系的变量称为相关变量。相关变量间的关系一般分为两种:1、因果关系。一个变量的变化受另一个或几个变量的影响。如仔猪的生长速度受遗传、营养水平、饲养管理条件等因素的影响；子代的体高受亲本体高的影响。2、平行关系。它们互为因果或共同受到另外因素的影响。如黄牛的体长和胸围之间的关系，猪的背膘厚度和眼肌面积之间的关系等都属于平行关系。统计学上采用回归分析研究呈因果关系的相关变量间的关系。表示原因的变量称为自变量，表示结果的变量称为依变量。研究“一因一果”，即一个自变量与一个依变量的回归分析称为一元回归分

3、析；研究“多因一果”，即多个自变量与一个依变量的回归分析称为多元回归分析。一元回归分析又分为直线回归分析与曲线回归分析两种；多元回归分析又分为多元线性回归分析与多元非线性回归分析两种。回归分析的任务是揭示出呈因果关系的相关变量间的联系形式，建立它们之间的回归方程，利用所建立的回归方程，由自变量（原因）来预测、控制依变量（结果）。图7-1x，y的散点图从散点图可以看出：①两个变量间有关或无关。若有关，两个变量间关系类型，是直线型还是曲线型。②两个变量间直线关系的性质（是正相关还是负相关）和程度（是相关密切还是不密切）。散点图直观地、定性地表示了两个变

4、量之间的关系。而，根据观测值，可以将两个变量之间的关系定量地表达出来。根据n对观测值所描出的散点图，可以直观看出呈因果关系的两个相关变量y(依变量)与x(自变量)间的关系是直线关系还是曲线关系。由于依变量y的实际观测值总是带有随机误差，因而依变量y的实际观测值yi可用自变量x的实际观测值xi表示为：(i=1,2,…,n)（7-1）其中:x为可以观测的一般变量(也可以是可以观测的随机变量)；y为可以观测的随机变量；i为相互独立，且都服从N（0，σ2）的随机变量。这就是直线回归的数学模型。我们可以根据实际观测值对α，β以及方差σ2做出估计。在x、y直

5、角坐标平面上可以作出无数条直线，我们把所有直线中最接近散点图中全部散点的直线用来表示x与y的直线关系，这条直线称为回归直线。设回归直线的方程为：(7-2)其中，a是α的估计值，b是β的估计值。a、b应使回归估计值与实际观测值y的偏差平方和最小，即：根据微积分学中的求极值的方法，令Q对a、b的一阶偏导数等于0，即：min解正规方程组，得：（7-3）（7-4）整理得关于a、b的正规方程组：（7-3）式中的分子是自变量x的离均差与依变量y的离均差的乘积和，简称乘积和，记作，分母是自变量x的离均差平方和，记作SSx。a叫做样本回归截距，是回归直线与y轴交点

6、的纵坐标，当x=0时，=a；b叫做样本回归系数，表示x改变一个单位，y平均改变的数量；b的符号反映了x影响y的性质，b的绝对值大小反映了x影响y的程度；叫做回归估计值，是当x在在其研究范围内取某一个值时，y值平均数α+βx的估计值。性质1最小；性质2；（7-5）回归方程的基本性质：如果将（7-4）式代入（7-2）式，得到回归方程的另一种形式(中心化形式)：性质3回归直线通过点【例7.1】二、直线回归的显著性检验若x和y变量间并不存在直线关系，但由n对观测值（xi，yi）也可以根据上面介绍的方法求得一个回归方程=a+bx。显然，这样的回归方程所反应的

7、两个变量间的直线关系是不真实的。为了判断直线回归方程所反应的两个变量间的直线关系是否真实，我们先探讨依变量y的变异，然后再作出统计推断。图7-4的分解图1、直线回归的变异来源由此图，可以得出→从图7-4看到：上式两端平方，然后对所有的n点求和，则有由于所以于是所以有（7-6）反映了y的总变异程度，称为y的总平方和，记为SSy；反映了由于y与x间存在直线关系所引起的y的变异程度，称为回归平方和，记为SSR；反映了除y与x存在直线关系以外的原因，包括随机误差所引起的y的变异程度，称为离回归平方和或剩余平方和，记为SSr。（7-8）式又可表示为：（7-7

8、）这表明y的总平方和剖分为回归平方和与离回归平方和两部分。与此相对应，y的总自由度dfy也划分为回归自由度dfr与离回归自