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《18.过定点且与两平面成等角的直线个数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、[中国高考数学母题一千题](第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)过定点且与两平面成等角的直线个数直线与平面所成角的一个典型问题过定点且与两平面成等角的直线个数问题是直线与平面成角的特殊且典型的问题,因该类问题可充分考查直线与平面成角的本质、空间想象能力和分类讨论思想,而倍受命题者喜爱.[母题结构]:若平面α与β所成角为2θ(0<θ≤450),过平面α,β外一点P作与平面α,β成等角δ的直线a个数n,则:①当δ>900-θ时,n=0;②当δ=900-θ时,n=1;③当θ<δ<900-θ时,n=2;④当δ=θ时,n=3;⑤当δ<θ时,n=4
2、.[母题解析]:如图,相交平面α,β将空间分成四个不同区域,其中与P在平面β同一侧的区域Ⅰ与Ⅱ,则区域Ⅰ、Ⅱ所在的二面角的平面角是互补,区域Ⅰ所在的二面角的平面角为2θ;类似角平分线定义:从一个二面角的棱出发的一个半平面,如果把这个二面角的平面角分成相等的角,这个半平面叫做这个二面角的角平分面;以下两个结论显然成立:①角平分面内的任意一条直线与两个半平面所成角相等;②若二面角的平面角为2θ,则角平分面内的直线与两个半平面所成的最大角为θ;区域Ⅰ、Ⅱ所在的二面角的角平分面分别记为M、N,把点P分别移到角平分面M、N上,由此可得:当δ>900-θ时,δ>θn=0;②当δ=900-θ时
3、,在角平分面M上存在一条(与l垂直),在角平分面N上不存在(δ>θ)n=1;③当θ<δ<900-θ时,在角平分面M上存在2条,在角平分面N上不存在(δ>θ)n=2;④当δ=θ时,在角平分面M上存在2条,在角平分面N上存在1条n=3;当δ<θ时,在角平分面M、N上各存在2条n=4.1.直接应用子题类型Ⅰ:(2004年湖北高考试题)己知平面α与β所成的二面角为800,P为α、β外一定点,过点P的一条直线与α、β所成的角都是300,则这样的直线有且仅有()(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条[解析]:由δ=300,2θ=800θ=400δ<θn=4.故选(D).[点评]:本题是此类
4、试题的题根,母题是本题的一般化;利用母题,选择θ与δ的值,可随意构造试题.2.变式应用子题类型Ⅱ:(2006年全国高中数学联赛湖南初赛试题)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,P为棱AB上一点,过点P在空间作直线l,使l与平面ABCD和平面ABC1D1均成300角,则这样的直线条数是()(A)1(B)2(C)3(D)4[解析]:由平面ABCD与平面ABC1D1所成角2θ=∠D1AD=450θ=22.50,又δ=300θ<δ<900-θn=2.故选(B).[点评]:设定几何体,并在几何体中取两特殊的平面(可求其成角2θ的具体值),取δ的值,构造该类试题.3.线面结合子题类型
5、Ⅲ:(2008年四川高考试题)己知直线l平面α,经过α外一点A与l、α都成300角的直线有且仅有()(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条[解析]:过点A且与平面α成300角的直线构成以A为顶点的圆锥面;又因直线AP与直线l成300角,过圆锥底面圆心O,作与直线l平行的直线与圆O交于B、C两点,则满足条件的直线有且仅有AB、AC两条.故选(B).[点评]:本题还可以这样分析:设直线m⊥平面α,则m⊥l,且本题等价于:过点A与l成300角,且m成600角的直线a个数;把直线m,l平移至点A,由m⊥l直线a个数n=2.故选(B).类似的,设直线m⊥平面α,设直线n⊥平面β,则母题等
6、价于:若直线m与n所成角为2θ(0<θ≤450),过空间一点P且与m,n成等角900-δ的直线a的个数问题.由此可知两个母题是等价的.4.子题系列:1.(1998年第九届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)平面外一直线和这个平面所成的角为θ,则θ的范围是()(A)00<θ<1800(B)00<θ<900(C)00<θ≤900(D)00≤θ≤9002.(2011年“华约”自主招生试题)两条异面直线成600,过空间内任一点A可以作出()平面与两异面直线都成450角.(A)一个(B)二个(C)三个(D)四个3.(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)平面α、β所成的锐角为40
7、0,过空间中一个定点P作与α、β所成的角都等于800的平面,这样的平面有且仅有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个4.(2009年重庆高考试题)己知二面角α-l-β的大小为500,P为空间中任意一点,则过点P且与平面α和平面β所成的角都是250的直线的条数为()(A)2(B)3(C)4(D)55.(2008年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设a,b是夹角为300的异面直线,则满足条件“aα,bβ,且α⊥β”的平面α,β()(A)不存在(B)有且只有一对(C)有且只有两对(D
