材料力学第8章应力状态分析

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1、第8章应力状态分析8.1应力状态概述在研究杆件弯曲或扭转变形时，杆件内位置不同的点具有不同的应力情况。因此，构件中某一点的应力随几何坐标变化，是几何坐标的函数。然而，即使对空间位置确定的某一个点而言，通过该点的截面方位不同，其应力值也不相同。现在以直杆拉伸为例（见图8.1），A点是杆件中位置确定的一个点。设想以A点为中心，用相互垂直的6个截面截取一个边长无限小的立方体，我们将这样的立方体称为单元体。取决于截取平面的倾角变化，围绕同一个点，可以截取出无数个不同的单元体，图8.1（b）为依附着杆件横截面所截取单元体(图8.1

2、（c）为其平面图形式)，而图8.1（d）为依附着45°斜截面所截取的单元体。由于杆件轴向拉伸时，横截面上只有正应力，且与杆件轴向平行的截面没有应力，因此，图8.1（b）中的单元体只在左右两个面上有正应力作用。对于图8.1（d）中的单元体，根据拉压杆斜截面应力分析（2.3节）可知，其4个面上既有正应力又有切应力。图8.1由以上分析可见，杆内各点应力的大小和方向不仅与该点所处位置有关，而且还与过该点的截面方位有关。过一点所有截面上应力的集合，称为该点的应力状态。为了解决构件在复杂受力情况下的强度问题，必须了解构件中的危险点哪

3、一截面的正应力最大，哪一截面的切应力最大，为此有必要研究一点处各截面应力的变化规律，这就是一点的应力状态分析。一点的应力状态通常用单元体来描述。在分析构件中一点的应力状态时，通常先用应力已知的截面来截取一个单元体。例如，如图8.2（a）所示的悬臂梁，在横截面m—m上A，B，C这3点的应力（见图8.1（b））可由弯曲应力公式确定。由应力沿截面高度的变化规律（见图8.2（c））可知，A点只有正应力，B点只有切应力，C点既有正应力又有切应力。围绕A，B，C三点截取单元体如图8.2(d)所示，单元体的前后两面为平行于轴线的纵向截

4、面，在这些面上没有应力，左右两面为横截面的一部分，根据切应力互等定理，单元体B和C的上下两面有与横截面数值相等的切应力。至此，单元体各面上的应力均已确定。注意到图8.2（d）各单元体前后面上均无应力，因此也可用其平面视图表示(见图8.2（e）)。图8.2从受力构件中截取各面应力已知的单元体后，运用截面法和静力平衡条件，可求出单元体任一斜截面上的应力，从而可以确定出极值应力。围绕构件内一点若从不同方向取单元体，则各个截面的应力也各不相同。其中切应力为零的截面具有特殊的意义，称为主平面；主平面上的正应力称为主应力。一般情况下

5、，过构件内任一点总能找到3个互相垂直的主平面，因而存在3个主应力，这3个主应力按代数值排列分别表示为σ1，σ2，σ3，按代数值大小排序，它们的关系为σ1≥σ2≥σ3。3个相互垂直的主平面可围成一个单元体，自然，该单元体各个面均为主平面，且该单元体上只有主应力的作用，这样的单元体称为主单元体。对于构件中的某一点，当3个主应力全都不为零时，该点的应力状态称为三向（或空间）应力状态，当有一个主应力为零时，称为二向（或平面）应力状态，当有两个主应力为零时，称为单向应力状态。三向和二向应力状态又称为复杂应力状态，单向应力状态则称为

6、简单应力状态。工程中经常遇到二向应力状态的问题，下面主要对二向应力状态进行分析研究。8.2二向应力状态分析——解析法8．2．1二向应力状态的斜截面应力如图8.3（a）所示单元体为二向应力状态的一般情况，在单元体上，与x轴垂直的平面称为x截面，其上作用有正应力σx和切应力x；与y轴垂直的平面称为y截面，其上作用有正应力σy和切应力y；与z轴垂直的z截面上应力为零，该平面是主平面。切应力x或y的角标x(或y)表示切应力作用面的法线方向。二向应力状态也可用如图8.3（b）所示的平面单元体来表示。应力的符号规则如前（参见2.3节

7、），图中的σx，σy和x为正值，而y为负值。图8.3运用截面法可以求出与z截面垂直的任意斜截面ac上的应力（见图8.3（a））。设斜截面ac的外法线n与x轴的夹角为α（斜截面ac称为α截面），并规定从x轴正向逆时针转到斜截面外法线n时α角为正（见图8.3（b）），反之为负。沿α截面将单元体截分为两个部分，保留左下部分，α截面上的正应力和切应力分别用σα和α表示，如图8.3（c）所示。若斜截面ac的面积为Aα，则ab面和bc面的面积分别为Aαcosα和Aαsinα。考虑左下部分的平衡，列法线n和切线t方向的平衡方程如下注意

8、：x和y数值上相等，以x代替y利用三角公式，上两式可简化为利用式（8.1）和式（8.2）可求得二向应力状态单元体上任意斜截面上的应力σα和8．2．2主平面与主应力的计算由公式（8.1）可知，斜截面上的正应力σα的数值随角度α而改变，极值正应力的数值及与之对应的斜截面法线与x轴的夹角，可由公式（8.1）通过导数求得。即