圆与方程精品(教案)

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1、—、知识概要(—)圆的方程1.标准方程圆心为(°,方)，半径为厂的圆的标准方程为Gd)2+(〉，—方尸匚了【说明】方程中有三个参量d、b.厂，因此三个独立条件可以确定一个圆。2.一般方程二次方程+y2*Q兀*②*尸=o—/E、2P2+E2-4F配方后为(X+y)2+(j+y)2=当D2+E2-4F>0吋，二次方程表示圆心为半径为厂=丄JD2+E2一4F的圆,222把方^x2+>j2+Z)x+£y+F=O(D2+£2-4F>0)ml做圆的一般方程。【说明】(1)恻的一般方程体现了恻方程的代数特点：①兀2、b项系数相等且不为零；②没有可,项00DE(2)当D2+E2-4F=0时，

2、二次方程表示点(一一,一一),22当D2+E2-4F<0时，二次方程不表示任何图形(3)据条件列出关于D、E、F的三元一次方程组，可以确定恻的一般方程。3.圆的参数方程ly—yCOS0①I员I心在0(0,0),半径为厂的恻的参数方程为彳(&为参数)y=厂sin。｛兀一d+厂cos0~（&为参数）y=b+rsinO(-)直线与圆1.直线与圆的位置关系的判定方法一:方程的观点，即把圆的方稈和育线的方稈联立方程组，利用判别式来讨论位胃关系。®A>0,直线与圆相交；②△=(),直线与圆相切；®A<0,立线与圆相离方法二几何的观点,即把圆心到直线的距离d和半径/?的大小加以比较。①d

3、R,直线与恻相离1.直线与圆相切这类问题主要是求I员1的切线方程，求恻的切线方程主要可分为已知斜率£或L1知立线上一点两种情况，而已知冇•线上一点可分为已知圆上一点分圆外一点两种情况。2.直线和圆相交这类问题主要是求弦氏以及弦的中点问题O(三)两圆位置关系1.两圆圆心距离为d=}02①外离：d>R+r；②外切：d=/?+厂；③相交：R-r

4、切问题的关键是什么？【例1】求以N(l,3)为圆心，并且与直线3x-4y-=0相切的圆的方程.【解】13-3x4-11a/32+42=2(x—l)2+(y—3)2=4【变式练习”过坐标原点且与圆宀八牡+2)，+

5、=0相切的直线的方程为y=3"或【变式练习2】己知直线5x+12y+d=0与圆x2-2x+y2=0相切，则Q的值为8或-18【变式练习3】求经过点力(0,5),且与直线x-2y=0和2x+y=0都相切的圆的方程.【解】设该圆的圆心为⑺小)，半径为广，则a-2hQ=5

6、型二：弦长问题直线被圆所截弦长的处理策略是什么？关键是借助圆的什么性质？【例2］求直线/:3兀—y—6=0被恻C:/+于_2兀_4y=0截得的弦AB的长.【解】恻C:(兀一1尸+(y—2)2=5r=V5,=13~2~61=AB=2』『-d?=価2【变式练习1］直线V3x+y-2V3=0截［甸/+4得的劣弧所对的恻心和为竺【变式练式2】直线祇一)，+3二0与圆(兀—I)2+(y-2)2=4相交于A,B两点，且弦AB的长为2^3,则a=0.【变式练习3】已知圆C:(兀+1尸+(y—2)2=6,直线/:wx_y+i_m=o.(1)求证:不论加取什么实数，直线Z与圆C恒交于两点;【解

7、】恒过(1,1)(2)求直线/被圆C截得的弦长最小时I的方程.【解】与过定点直线垂直时最小，加=2=＞/:y=2x+1类型三：直线与圆的位置关系【例3】己知直线V3x+y-2V3=0和圆x2+y2=4,判断此直线与己知圆的位置关系.【解】d="^2^1=羽＜2=＞相交V3+1【变式练习1】直线兀+y=1与圆兀？+)"—2°y=0⑺〉0)没有公共点，则a的取值范围是(0,^2-1)【变式练习2]直线)•，=匕+2与圆(x-2)2+(y-3)2=1有两个不同的交点，则k的取值范围是(0,—)【变式练习3】若直线y=x+m与曲线y=丁4—尢2有H只有一个公共点,求实数加的収值范围.

8、【解】有且只有一个公共点，则一2有两个公共点，则22>/2类型四：圆与圆的位置关系【例4】判断恻C,:x2+y2+2x-6y-26=0与HC2:x2+y2一4x+2y+4=0的位置关系【解】圆心之间距离CC2=J(2+l)2+(_]_3)2=5<斤+厂2=6+1=7=>相离【变式练习1】圆兀$+)/—2兀=()和圆兀2+》,2+4),=()的位詈关系是外切【变式练习2】若圆x2+y2-2tnx+m2-4=0与圆x2+y2+2x-4fny+4/772-