说题三角形角平分线与内外角之间的关系

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1、说题教学设计姓名：杨松题目：立足教材，拓展探究如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE,CF相交于点G.求证：(1)∠BGC=180∘−(∠ABC+∠ACB)；(2)∠BGC=90∘+∠A。新人教版数学八年级上册P29页拓广探索第11题，一、审题分析：1.题目背景：（1）教材背景：本题源于新人教版《数学》八年级下册教材P29页复习题第11题，是在学习了角平分线的定义和《三角形》的全章内容的基础上出现的。（2）知识背景：涉及的知识点包括，角平分线的定义，三角形的内角和定理。（3）方法背景：根据条件，选择证明线段相等的方法，学会找出全等三角形。根据条件，选择证明角度相等的方法，学会

2、根据角平分线的定义和三角形的内角和定理转换角度，化散为整，懂得逆推的思维，会运用三角形的内角和去解决问题。(4)思想背景：“由特殊到一般”、“由复杂到简单”的数学思想，以及“逆推”、“转化”、“化归”的数学思维。2.学情分析八年级的学生对图形已经有了一定的认知和感受，也有了一定的推理、证明和表达的能力。此前学生已经学习了《角平分线》、《与三角形有关的角》，掌握了证明角度相等的一般方法，等量代换的转换思想，角平分线的定义，三角形内角和定理等。但是对于在复杂图形中能灵活运用角平分线的性质和三角形角度关系的证明上还有待加强。3.题目重难点重点：引导学生发现题目中与三角形内角和相关的隐含条件，联

3、系角平分线的定义证明角的等量关系，再转换成角度之间的等量关系。难点：把联系不明显的角转化成同一个三角形中的角去解决问题。4.教材背景教材在此前练习中已经出现过相类似的题目，如人教版第17页习题第8、9题，都是关于三角形的内角、外角，角平分线所成的夹角的题型，为此题的证明做了经验准备。二、解题过程：1.题目剖析：在学生认真审题的基础上，通过问题串帮助学生理解已知条件，并挖掘隐含条件，突破难点，形成解题思路：（1）已知条件有哪些？（2）角平分线的性质是什么？（3）三角形内角和定理是什么？2.答题过程：要证明∠BGC与∠ABC+∠ACB的关系，我们可以使用逆推的思想方法，首先使用三角形内角和定

4、理推导出∠BGC=180∘−(∠GBC+∠GCB)，然后继续往前逆推，思考与∠GBC和∠GCB有关的条件是什么，从而根据角平分线的性质得到∠GBC=∠ABC,∠GCB=∠ACB，最后使用等量代换把它们代入∠BGC=180∘−(∠GBC+∠GCB)，通过整理得到∠BGC=180∘−(∠ABC+∠ACB)。再给出标准答案。2.练习巩固：如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘，两个锐角∠ABC和∠ACB的平分线BE,CF相交于点O.求证:(1)若Rt△ABC是等腰直角三角形，求∠B0C的度数。(2)若Rt△ABC是一般的直角三角形，∠BOC的度数又是多少？3.总结提升：在遇到“角与角之间的关系”

5、时，懂得通过相关知识，把不在同一个三角形的角尽量转换成同一个三角形的内角或外角，再进行对比分析，以“化散为整”、“由特殊到一般”为思想方法去突破难点。三、拓展变式由于本题难度不大，为了提高学生的推理解题的综合能力，和培养学生的逆向思维和发散思维，并联想到与三角形有关的角还有三角形的外角，所以我改变部分条件，设计了如下两个变式：变式一：如图，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线BG,CG相交于点G.请问：是否还有∠BGC=90∘+∠A这样的关系？若没有，那它们关系是什么？请说明理由。变式二：如图，△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线BG,CG相交于点G.请问：∠BGC与∠A又有

6、怎样的关系？并说明理由。四、反思小结：1.题目反思：三角形角平分线位置变换出现的这三种情况，还可以与在后面学习的十二章的全等三角形，十三章的等腰三角形、等边三角形等知识点联合变形；或者联合以前学习的平行线的性质等知识综合出题，这也是一个往年中考的考点。2.教学反思：因为原题属于基础题，所以教学主要采用以学生为主体，以教师为主导,以训练学生思维和综合分析能力的启发式教学，通过一系列关于“三角形内角和定理与角平分线的定义”的变式拓展题，进行深层思考挖掘，小组合作交流，教师及时引导，鼓励学生质疑、探究，激发学生的兴趣。层层递进的两个变式，拓展了学生的思维，引导学生更好的巩固并灵活运用三角形角平

7、分线的定义、内角和定理与三角形外角的性质。同时深化学生“由特殊到一般”、“由复杂到简单”的数学思想方法，以及“转化”“化归”的数学思维，深化教材重点内容，突破题目难点。3.总结反思：通过对教材习题本身和多次的拓展探究与总结，我们发现根本问题的解决来源于教材知识点与教材习题，所以在教学过程中：应立足教材，注重概念教学，引导学生学会知识变迁；重视教材中典型的例题和习题剖析挖掘，加强变式练习；在规范答题的基础上，注意总结所使用的数学思想方