最值问题专题(轴对称的应用)

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1、最值问题专题(轴对称的应用)                           1、线段之和的最值。(将军饮马问题)(1)如图,A、B在直线l的同侧,在l上求作一点P,使PA+PB最小。      作法:i)作点A关于l的对称点:作AO⊥l于O,在AO延长线上截。     ii)连结,交l于点P。     点P即为所求。  (2)如图,A、B在直线l同侧,在l上求作两点P、Q(P在Q左侧)且PQ=a,使四边形APQB的周长最小。   分析:四边形APQB周长=AP+PQ+QB+AB。其中PQ、AB为定值,问题转化为AP+QB最小,

2、与(1)不同,将军不是去河边饮了马就折走,而是要沿河走一段线段a,如果能把这段a提前走掉就可以转化为问题(1)了,于是考虑从A沿平行的方向走a至c,之后同问题(1)。  作法:i)作线段且     ii)作点C关于的对称点:。     iii)连结BC’’交L于点Q     iv)在L上Q左侧截PQ=a。       四边形APQB即为所求。 (3)如图,A、B、C三点在直线同侧,在上求作一点P,使四边形APBC周长最小。                     分析:四边形APBC的周长=AP+PB+BC+AC     其中BC+

3、AC为定值     所以要使周长最小,即使PA+PB最小     于是转化为问题(1)。 (4)如图,点M在锐角∠AOB内部,在OA边上求作一点P,在OB边上求作一点Q,使△MPQ周长最小。                   作法:i)作M关于OA对称点M1,      作M关于OB对称点M2。     ii)连结M1M2分别交OA、OB于P、Q,       △MPQ即为所求。  (5)如图,点M在锐角∠AOB内部,在OB边上求作一点P,使点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小。                   作法:

4、i)作M关于OB的对称点。     ii)作MH垂直OA于H,交OB于点P。       点P即为所求。

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