大学统计学第8章一元回归及简单相关分析

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1、第八章一元回归及简单相关分析主要内容：1、回归与相关的基本概念2、一元线性回归方程3、一元线性回归的检验4、一元非线性回归5、相关一、教学目的：1、掌握回归与相关的概念；2、掌握一元线性回归方程的建立与检验；3、掌握相关系数的性质与检验。二、教学重点：1、回归与相关的概念；2、一元线性回归方程的建立与检验；3、相关系数的性质与检验；三、教学难点：1、一元线性回归方程的建立与检验；2、相关系数的计算与检验。设有两个随机变量X和Y，对于任一随机变量的每一个可能的值，另一个随机变量都有一个确定的分布与之相对应

2、，称这两个随机变量间存在相关(correlation)关系。回归分析是研究一个变量对另一个变量的单向依存关系，即研究一个变量随另一个变量变化而变化。其中的后一个变量叫自变量，前一个变量叫应变量或因变量。回归与相关的基本概念研究两个变量之间的相关关系和回归关系，称为简单相关和简单回归，亦称单相关和单回归。它还可分为两类：直线相关和直线回归、曲线相关和曲线回归直线相关和直线回归：在两个变量中，当一个变量数值增大时，而另一个变量数值随着增大；或当一个变量数值增大时，而另一个变量数值反而减少。这种增大或减少，在

3、一定范围内常有一定的比例。如以成对观察值散点的图方法表示，可见各散点常落于一条直线之左右，散点图呈直线的趋势。回归与相关的基本概念曲线相关和曲线回归：在两变量中，一个变量的数值随另一个变量增大而增加，但达一定限度后，随着变量数值的增加，另一变量数值反而减少，这种情形称为曲线相关和曲线回归。回归与相关的基本概念当研究变量的相关和回归关系涉及到三个或三个以上的变量时候，称为多元相关和多元回归，亦称复相关和复回归。例如鱼的增重率不仅跟品种有关，还跟饲料品种、饲料投喂量、温度等因素有关。回归与相关的基本概念散点

4、图在做两个随机变量关系研究时，首先要收集数据。在收集到许多对数据之后，最好先作出一个散点图，直观地描述一下两变量的关系。用自变量X为横轴，因变量Y为纵轴，在XY平面内标出（x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)，就构成一幅散点图。一元线性回归方程例：实验浸苗对海带产量的影响，以“860”海带为材料，在夹苗放养前，选择长势基本相同的小海带，用不同浓度的TRIA浸苗6小时，得实验结果：一元线性回归方程下图是用以上7对数据作出的散点图。一元线性回归方程从以上的散点图可以看出海带产量与浸泡浓度之间近似

5、呈线性关系，但这些点并不在一条直线上。若我们增加每一NaCl浓度下的观测次数，其散点图如下：（可见其平均值更趋近于一条直线）一元线性回归方程我们描绘散点的目的:（1）两变量之间的关系是否密切，能否用X来估计Y；（2）两变量之间的关系是呈线性或某种曲线；（3）是否存在某个点偏离过大；（4）是否存在其他规律。从以上的例子我们可以看出，实验重复越多，其线性关系越明显，这在实际上是困难的。在点比较少的情况下，表示两变量关系的直线可能有多条，哪一条最好呢？一元线性回归方程一元正态回归模型满足上面式子的回归模型，因

6、其只指包含一个自变量X且具有正态性，所以称为一元正态回归模型。一元线性回归方程参数α和β的估计一般情况下，只能得到一条估计的直线。用Ŷ估计μY.X，即对每一个固定的X的值x0，用Ŷ做Y的总体平均数μY.X＝0的估计值。“Ŷ”的意思是“Y的估计值”。上式称为Y对X的回归方程。根据回归方程所画出的直线称为回归线，b是直线的斜率，称为回归系数。一元线性回归方程平均数有一个特性，即在各种离差平方和中，以距平均数的离差平方和最小。我们把观测值与回归估计值之间的离差平方和最小时的回归线作为最好的回归线。其方法为最小

7、二乘法。图为最小二乘法示意图。一元线性回归方程应用最小二乘法求回归方程时并不涉及两变量是否确有回归关系，因此，求出回归方程后须作统计检验，称回归显著性检验。有t检验法和F检验法。一元回归显著性检验一元回归分析的意义1、预报：生物学中，研究两变量间的关系，可以帮助我们揭示生物各性状之间的内在联系。同时，也可以由一个变量去预报另一个变量。2、减少实验误差：将总校正平方和分解为因回归引起的平方和和实验引起的误差平方和，减小了后者，从而降低了实验误差。一元回归显著性检验处理一元非线性回归的原则生物学中两变量间呈

8、曲线关系的例子很多。例如生物生长中某时期的重量与时间的关系、细菌生长的数量与时间的关系等，都不是用简单的直线关系所能表达的。这时应选择适当类型的曲线，使之能更符合两变量的实际关系。在确定了两变量间所呈函数关系以后，需通过适当变换，便可将曲线化为直线，再按直线回归处理。一元非线性回归能直线化的曲线1.幂函数2.指数函数3.对数函数4.双曲线函数5.S型曲线一元非线性回归相关系数两个变量之间的线性回归是否显著，可以通过检验回归系数b的显著性和方