角平分线定理的逆定理

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1、角的平分线的性质定理的逆定理教学设计（一）内容角的平分线的性质定理的逆定理．（二）内容解析本节课是学生在学习了角平分线的性质的基础上，进一步研究角平分线性质定理的逆命题是否正确．教科书首先提出了一个具有实际背景的问题，在公路和铁路的交叉区域内建一个集贸市场，学习了角平分线的性质，学生可能猜想到集贸市场应建在公路和铁路夹角的平分线上．教科书没有直接给出答案，而是从另一个角度引导，将角的平分线的性质的题设和结论交换位置，所得到的结论是否仍然成立？这就引出了“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”．接着让学

2、生利用三角形全等证明这个结论．本节课学习的内容是全等三角形知识的运用和延续，是今后学习圆的内心的基础．基于以上分析，本节课的教学重点是：角的平分线的性质定理的逆定理．二、目标和目标解析（一）目标1．探索并证明角平分线性质定理的逆定理．2．会用角平分线性质定理的逆定理解决问题．（二）目标解析达成目标1的标志是：学生能准确表述角平分线性质定理的逆定理的内容．能正确地写出已知、求证，能运用三角形全等的“HL”判定方法和三角形的性质证明角平分线的性质的逆定理．达成目标2的标志是：学生能利用角的平分线的性质的逆定理证明

3、与角相等的有关简单问题．三、教学问题诊断分析本节课的学习中，学生在分清角的平分线的判定的条件和结论，并进行严格的逻辑证明过程中常常感到困难．例如，在用符号语言表述判定条件和结论时，不知“距离”应为“条件”还是“结论”．其主要原因是角的平分线的判定是以文字命题的形式给出的，其条件和结论具有一定的隐蔽性．教学时，教师要引导学生分析性质中的条件和结论，正确写出已知和求证．基于以上分析，本节课的教学难点是：证明角平分线的判定定理．四、教学过程设计（一）引言上节课我们已经学习了角的平分线的性质，如果把它的题设和结论调换

4、位置，得到的命题还是真命题吗？【设计意图】通过实际问题，复习角平分线的性质定理．（二）探索角平分线的判定定理问题1　写出角的平分线的性质的逆命题．师生活动：教师提出问题，学生独立思考．追问1：上述逆命题成立吗？你能证明这个结论的正确性吗？已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．证明：∵QD⊥OA，QE⊥OB，∴∠QDO和∠QEO都是直角．在Rt△QDO和Rt△QEO中，　   ∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）．∴∠QOD＝∠QOE．∴点Q在∠AOB的

5、平分线上．师生活动：教师首先引导学生写出逆命题，分析命题的条件和结论，如果学生感到困难，可以让学生将命题写成“如果……那么……”的形式，最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，并独立完成证明过程．角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．用几何语言表示为：∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE，∴点Q在∠AOB的平分线上．师生活动：让学生分别用文字语言和符号语言概括角平分线的判定定理．让学生理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合．（1）角平分线上任意一点（运动显示）到角的

6、两边的距离都相等（渗透集合的纯粹性）．（2）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的平分线上（而不在其他位置，渗透集合的完备性）．由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合．问题2　比较分析角平分线的性质和判定，填写下表： 角平分线的性质角平分线的判定图形  已知  结论  师生活动：学生独立完成表格，教师点评补充．【设计意图】让学生通过观察、猜想、推理证明角平分线的判定定理，体会研究几何问题的基本思路．通过表格将角平分线的性质和判定进行比较，让学生体会类比的思想．反思判定，

7、可以让学生进一步体会证明两个角相等可以利用角平分线的判定，比证两个三角形全等更简捷．（三）巩固应用1．如图，要在S区建一个广告牌P，使它到两条高速公路的距离相等，离两条公路交叉处500m，请你帮忙设计一下，这个广告牌P应建于何处？（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）分析：根据角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，可知点P在两条公路形成的夹角的平分线上，设公路的交点为点O，计算可知OP=2.5cm．2．如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

8、分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段．证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，∴PD＝PE．（角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PF＝PE．∴PD=PE=PF．即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．追问：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？∵PD=