角平分线的性质及其逆定理

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1、角平分线的性质及其逆定理角平分线定理角平分线定理的逆定理条件文字表述角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。数学符号（1）∵OC平分∠AOB，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E∴PD=PE（定理1）（1）PD⊥OA　　，PE⊥OB∴PD=PE（定理２）∵OC平分∠AOB，点P在射线OC上，1题.如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C．求证：AF=　（性质定理）2题.如图，已知△ABC中，∠C=90º，∠BAC=2∠B，D是BC上一点，DE⊥AB于E，DE=DC．求证：AD=BD．（判定定理）3

2、、、已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC.你能说明BE与DF相等吗？ABCDEF12解：BE=DF∵CE⊥AB,CF⊥AD(已知)∵AC平分∠BAD(已知)∴CE=CF（）在Rt△CDF和Rt△CBE中CE=CF__________(已知)∴Rt△CDF≌Rt△CBE（）∴__________________()4、已知如图，BD平分∠ABC，若要证明AD=DC,则可以添加的一个条件是______5.如图，Rt△ABC中，∠C=90º，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，BC=6，CD=3，AE=4，则DE=_______，AD=_______，△ABC

3、的周长是_______．6.如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，在以下结论中：①△ADE≌△ADF；②△BDE≌△CDF；③△ABD≌△ACD；④AE=AF；⑤BE=CF；⑥BD=CD．其中正确结论的个数是（　　）A．1B．2C．3D．48已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E,且DE=3cm,则点D到AC的距离是()A.2cm;B.3cm;C.4cm;D.6cm9.如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE交于点O，且∠1=∠2，求证：OB=OC10．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC

4、，垂足分别为E、F．求证：四边形ECFD是正方形．11在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BD=DC，求证：∠B=∠C12如图△ABC的角平分线BM,CN相交于点P，求证：点P到三边AB,BC,CA的距离相等1．如图24-79，△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，D、E是垂足。求证：M在∠A的平分线上。2．如图24-82，∠B＝∠C＝90°，P是BC的中点，DP平分∠ADC，求证：AP平分∠DAB。3如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．ABCDEP4已知：如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝

5、DC，BD平分∠ABC.求证：∠A+∠C＝180度5．如图，四边形ABCD中AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，P是对角线AC上一点，求证：点C在∠A的平分线上．PB=PC．11．如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD交BE于点O．①若OC=OB，求证：点O在∠BAC的平分线上．②若点O在∠BAC的平分线上，求证：OC=OB．做一做：用尺规作角的平分线。已知：∠AOB(如图)求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．2.如图，已知和，两点．求作一点，使，且使到两边的距离相等．（写出作法）DBOCA[例2]找一个点，使它到△三边的距离相等．9．在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部设在A

6、区内，到公路、铁路的距离相等，且离公路与铁路的交叉点B700m。如果你是红方的指挥员，请你在图24-83所示作战图中标出蓝方指挥部的位置。（用圆规、直尺作图，不写作法，保留作图痕迹。比例尺：1︰20000）三角形中位线定理　几何语言：　直角三角形30度的角所对的边等于　　　　　　几何语言：　　　　　直角三角形斜边上的中线等于　　　　几何语言：平分线的性质定理角平分线的性质：角平分线的判定定理：练习一：课后练习判断：（1）如图：OP是∠AOB的平分线，则PE=PF（）（2）如图：PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，则PE=PF　（）FEOBAP┌（3）在∠AOB的平分线上任取一点Q，点Q到OA的距离

7、等于3cm,则点Q到OB距离等于3cm（）2．三角形中到三边距离相等的点是（）A．三条边的垂直平分线的交点B．三条高的交点C．三条中线的交点D．三条角平分线的交点3．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，则DE的长为_________cm．EFCBAD（第3题）4、练习1、 ∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE