资源描述：
《角的平分线的性质逆定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、角的平分线的性质（2）角的平分线上的点到角的两边的距离相等2、角的平分线的性质:OCB1A2PDEPD⊥OA，PE⊥OB∵OC是∠AOB的平分线∴PD＝PE用数学语言表述：复习反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．思考证明:∵QD⊥OA，QE⊥OB（已知），∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中QO＝QO（公共边）QD=QE∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）∴∠QOD＝∠QOE∴点Q在∠AOB的平分线上已
2、知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴QD＝QE如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,ABCPMNDEF∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.∴PD＝PE=PF.即点P到三
3、边AB、BC、CA的距离相等证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以只要作△ABC任意两角（例如∠A与∠B）的平分线，其交点P即为所求作的点.点P也在∠C的平分线上，如图1-32.图1-32定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.（这个交点叫做三角形的内心）如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于MGHM∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC∴FG＝FM
4、又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC∴FM＝FH∴FG＝FH∴点F在∠DAE的平分线上基本应用填空：(1).∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(___________________________________________)(1).∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE∴__________(_______________________________________________)ACDEB12∠1＝∠2DC=DE到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。在角平分线上的点到角的两边的距离相等证明：在△AB
5、C中，∵∠1=∠2，∴BA=BC.又BA⊥AD，BC⊥CD，∴点B在∠ADC的平分线上.例1如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；（2）求证：BD是∠ABC的平分线.证明：在Rt△BAD和Rt△BCD中，∵BA=BC，BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BCD.∴∠ABD=∠CBD.∴BD是∠ABC的平分线.如图1-30，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系.例2∴PE=PF.在△EBP中，BE+PE>PB，∴BE+PF>PB.∵AP
6、是∠DAC的平分线，又PE⊥DB，PF⊥AC，解图1-30如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。ABCEFD证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，∴∠BED＝∠CFD＝90°.在Rt△BED和Rt△CFD中，∴△BED≌△CFD(HL)．∴DE＝DF(全等三角形的对应边相等)．∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，∴AD是△ABC的角平分线．小结：1.定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.2.逆定理：在一个角的内部,且到角
7、的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.3.定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等(这个交点叫做三角形的内心).4.用尺规作角的平分线.（作法）CB1A2PDEO（2）在Rt△OED和Rt△OEC中，∵OE=OE，ED=EC，∴Rt△OED≌Rt△OEC(HL).∴OD=OC.证明（1）∵点E在∠BOA的平分线上，EC⊥AO，ED⊥OB，∴ED=EC.∴∠ECD=∠EDC.∴△EDC是个等腰三角形.如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D.求证：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD.练习2.如图，在△AB
8、C中，AD
