特殊三角形复习课 (2)

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1、特殊三角形复习课一、知识点回顾（一）等腰三角形的性质与判定1.性质(1)等腰三角形的两个底角相等。(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。2.判定定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。等腰三角形:1,三个角都相等的三角形是等边三角形。2,有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。3,在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半（二）等腰三角形性质与判定的应用1、计算角的度数　　利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推

2、论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。（1）已知角的度数，求其它角的度数（2）已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组）2、证明线段或角相等v以等腰三角形为条件时的常用辅助线:如图：若AB=AC（1）作AD⊥BC于D，必有结论:∠1=∠2，BD=DC（2）若BD=DC，连结AD，必有结论：∠1=∠2，AD⊥BC（3）作AD平分∠BAC必有结论：AD⊥BC，BD=DC作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作AD⊥BC

3、，使∠1=∠2.二、例题分析例1已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程……已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC=a，高AD=h作法：1、作PQ⊥MN，垂足为D2、在DM上截取DA=h3、以点A为圆心，以a为半径作弧，交PQ于点B、C4、连结AB、AC则△ABC为所求的三角形。例2.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。证明：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB（等边

4、对等角）∴BD⊥AC于D，CE⊥AB于E∴∠BEC=∠CDB=90°∴∠1+∠ACB=90°，∠2+∠ABC=90°（直角三角形两个锐角互余）∴∠1=∠2（等角的余角相等）∴BM=CM（等角对等边）说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。例3.已知：如图，∠A=90°，∠B=15°，BD=DC.请说明AC=BD的理由.解∵BD=DC，∠B=15°∴∠DCB=∠B=15°（等角对等边）∴∠ADC=∠B+∠DCB=30°（三角形的外角等于和它不相邻的两个内

5、角的和）∵∠A=90°∴AC=1/2DC∴AC=1/2BD例4.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点.求证：△MDE是等腰三角形.分析：要证△MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用△BMD≌△CME得到结果。证明：连结CM∵∠C=90°，BC=AC∴∠A=∠B=45°∵M是AB的中点∴CM平分∠BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45°∴∠B=∠MCE=∠MCB∴CM=MB（等角对等边）在△BDE和△C

6、EM中∴△BDM≌△CEM（SAS）∴MD=ME∴△MDE是等腰三角形例5.如图，在等边△ABC中,AF=BD=CE,请说明△DEF也是等边三角形的理由.解：∵△ABC是等边三角形∴AC=BC，∠A=∠C∵CE=BD∴BC－BC=AC－CE∴CD=AE在△AEF和△CDE中∴△AEF≌△CDE（SAS）∴EF=DE同理可证EF=DF∴EF=DE=DF∴△DEF是等边三角形说明：证明等边三角形有三种思路：①证明三边相等②证明三角相等③证明三角形是有一个角为60°的等腰三角形。具体问题中可利用不同的方式进行求解。例6.如图

7、2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于G。请说明DG=EG的理由.v思路因为△GDB和△GEC不全等，所以考虑在△GDB内作出一个与△GEC全等的三角形。说明：本题易明显得出DG和EG所在的△DBG和△ECG不全等，故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过E作EF∥BD，交BC的延长线于F，证明△DBG≌△EFG，同学们不妨试一试。例7.如图2-8-6，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q.请说明BP=2PQ的理由.思路在

8、Rt△BPQ中，本题的结论等价于证明∠PBQ=30°证明∵AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD，　　∴△BAE≌△ACD　　∴∠ABE=∠CAD　　∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP　　=∠CAD+∠BAP=60°　　又∵BQ⊥AD　　∴∠PBQ=30°　　∴BP=2PQ说明本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这