正方形的性质和判定 (4)

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1、18.2.3正方形教学目标：1.掌握正方形的概念、性质，并能灵活运用.2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.3.根据平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的关系，归纳出正方形的判定定理.4.能运用正方形的判定定理进行简单的计算与证明.5.能运用正方形的性质定理和判定定理进行比较简单的综合推理与证明教学过程：自学指导：阅读课本58页至59页，完成下列问题.知识探究1.有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2.正方形既是矩形又是菱形，它既具有矩形的性质，又有菱形的性质.3.正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形.4.矩形ABCD加上一个条件：邻边相等,就可

2、以得到正方形ABCD.5.菱形ABCD加上一个条件：一个角是直角，就可以得到正方形ABCD.自学反馈正方形的性质:1.边:四条边都相等且对边平行;2.角：四个角都是直角;3.对角线：两条对角线互相垂直平分且相等,并且每一条对角线平分一组对角；4.正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，正方形有四条对称轴.正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形；2.有一个角是直角的菱形是正方形活动1小组讨论例1如图，给你一块长方形纸条，如何把它变成正方形纸条.提示：过点A沿AC′折叠，使点B与AD上点D′重合.折痕为AC′,则四边形ABC′D′为正方形.例1求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的

3、等腰直角三角形.已知：如图，正方形ABCD对角线AC、BD相交于O点.求证：△ABO、△BCO、△CDO、△ADO是全等的等腰直角三角形.提示：直接根据正方形性质，对角线垂直平分且相等.例3在正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F.求证：OE=OF.提示：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO.(正方形的两条对角线互相垂直平分，并且相等)又DG⊥AE,∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°.∴∠EAO=∠EDG.∴△AEO≌△DFO.∴OE=OF.例4如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交

4、于O，MN∥AB，且分别与OA、OB相交于M、N.求证：(1)BM=CN；(2)BM⊥CN.提示：(1)本题是证明BM=CN，根据正方形性质，可以证明BM、CN所在△BOM与△CON全等.(2)在完成(1)的基础上，欲证BM⊥CN.只需证∠5+∠CMG=90°，就可以了.活动2跟踪训练1.正方形ABCD的对角线相交于O，若AB=2，那么△ABO的周长是，面积是.2.如图，已知E点在正方形ABCD的边BC的延长线上，且CE=AC，AE与CD相交于点F，则∠AFC=3.顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的(A)A.12B.13C.14D.154.四条边都相等的四边形一定是(B)A

5、.正方形B.菱形C.矩形D.以上结论都不对5.如图所示，在正方形ABCD和正方形AKLM中，将正方形AKLM沿点A向左旋转某个角度.连接线段MD、KB，它们能相等吗？请证明你的结论.提示：证△ADM≌△ABK.6.求证：矩形的四个角的平分线所围成的四边形是正方形.已知：矩形ＡＢＣＤ，ＡＧ、ＢＥ、ＣＥ、ＤＧ分别是四个角的平分线.求证：四边形ＦＧＨＥ是正方形.提示：矩形相邻的角的和是180°，ＡＧ、ＢＥ是角平分线，可得∠AFB=90°，同理四个角都是直角.所以四边形FGHE是矩形.证△AGD≌△BEC，AG=BE，△ABF是等腰三角形，AF=BF，得EF=FG，即得到：四边形ＦＧＨＥ是正方形.7.

6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F.求证：四边形ECFD是正方形.提示：由垂直可得矩形，由角平分线得邻边相等，则是正方形.8.如图，E是正方形ABCD中CD边延长线上的一点，CF⊥AE，F是垂足，CF交AD或AD的延长线于G，试判断当点E在CD的延长线上移动时，∠DEG的大小是否变化，若变化，请求出变化范围；若不变化，请求出其度数.提示：不变，值为45°，可利用△CDG≌△ADE，证明DE=DG，得出结果.9.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为EF.(1)求证：DE=DF.(2)只添

7、加一个条件，使四边形EDFA是正方形，请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线，无需证明)提示：（1）证△DEB≌△DFC；(2)∠A=90°，四边形AFDE是平行四边形等.(方法很多)活动3课堂小结