微专题--空间垂直关系的转化

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1、微专题空间垂直关系的转化要点梳理归纳题型分类解析例1.已知矩形，，．将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，【】A．存在某个位置，使得直线与直线垂直B．存在某个位置，使得直线与直线垂直C．存在某个位置，使得直线与直线垂直D．对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直【解析】如图，⊥，⊥，依题意，，，==，7。A，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则∵⊥，∴⊥平面，从而⊥，这与已知矛盾，排除A；B，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则⊥平面，平面⊥平面。取中点，连接，则⊥，∴∠就是二面角的平面角，此角显然存在，即当在底面上的射影位

2、于的中点时，直线与直线垂直，故B正确；C，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则⊥平面，从而平面⊥平面，即在底面上的射影应位于线段上，这是不可能的，排除C；D，由上所述，可排除D。故选B。例2.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC;（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。解：(Ｉ)证明：∵由题设，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，∴BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1。又∵

3、DC1平面ACC1A1，∴DC1⊥BC。∵由题设，AC=BC，=AA1，D是棱AA1的中点，∴∠A1DC1=∠ADC=450，∴∠CDC=900，即DC1⊥DC。又∵DCBC=C，∴DC1⊥平面BDC。7又∵DC1平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC。（Ⅱ）设棱锥B－DACC1的体积为V1，，则。又∵三棱柱ABC－A1B1C1的体积，∴。∴平面BDC1分此棱柱为两部分体积的比为1：1。例3.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2。

4、（1）求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由。解：（1）证明：∵在图1Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，[来源:∴DE∥BC。∵在图2中，DE平面A1CB，∴DE∥平面A1CB。（2）证明：∵DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD=D，∴DE⊥平面A1CD。∵A1F平面A1CB，∴DE⊥A1F。又∵A1F⊥CD，CD∩DE=D，CD平面BEDC，DE平面BEDC，∴A1F⊥平面BEDC。又∵BE平面BEDC，∴A1F⊥BE，（3）线段A1B上存在点Q

5、，使A1C⊥平面DEQ，点Q为A1B的中点。理由如下：取A1C中点P，连接DP，QP。∵PDCB，DECB，∴PDDE。∴DEQP是平行四边形，∴D、E、Q、P四点共面。由（2）知，DE⊥平面A1CD，又A1C平面A1CD，7∴DE⊥A1C。∵P，Q是A1B和A1C的中点，∴PQ∥CB∥DE。∴PQ⊥A1C。又∵AD=CD，A1P=CP，∴PD⊥A1C。又∵PQ∩PD=P，∴A1C⊥平面PQD，即A1C⊥平面DEQ。例4.如图，长方体中，底面是正方形，是的中点，是棱上任意一点。（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）如果=2,=,,求的长。解；（I）连接。[来源:学科网

6、ZXXK]∵，∴共面。∵长方体中，底面是正方形，∴。∴面。∴。（Ⅱ）连接。∵在矩形中，，∴。∴。∴，解得。例5.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，7CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG.（1）求证：平面DEG⊥平面CFG；（2）求多面体CDEFG的体积。解：（1）证明：在平面图中，∵AB∥CD，DE⊥EF，CF⊥EF，∴四边形CDEF为矩形。∵DE⊥AB，AD=5，DE=4，BC=4，∴AE=3，BF=4

7、。∵AB=12，∴EF=5。∵将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG，∴GE=AE=3，GF=BF=4。在△EFG中，有，∴EG⊥GF。又∵CF⊥EF，CF⊥FG，EF∩FG=F，∴CF⊥平面EFG。又∵EG平面EFG，∴CF⊥EG。∴EG⊥平面CFG，即平面DEG⊥平面CFG。（2）在平面EGF中，过点G作GH⊥EF于H，则。∵平面CDEF⊥平面EFG，∴GH⊥平面CDEF，.∴。例6.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．（I）求三棱锥A－

8、MCC1的体积；（II）当A1M＋MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC.7解：（I）由长方体ABCD－