数学建模论文[1]

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1、数学建模论文眇级员立口圧且系別纟2010年1月7日摘要：席位分配是H常牛活中经常遇到的问题，对丁企业、公司、、学校政府部门都能解决实际的问题。席位可以是代表大会、股东会议、公司企业员工人会、等的具体座位。假设说,有一个学校要召集开一个代表会议，席位只有20个，三个系总共200人，分别是甲系100,乙系60,丙系40.如果你是会议的策划人，你要合理的分配会议厅的20个座位，既要保证每个系部都有人参加，故关键的就是耍对个公平都公平，保证三个系部对你所安排的位置没有异议。那么这个问题就要靠数学建模的方法来解决。关键词：Q值法公平席位问题的重述：三个系部学生共200名，(甲系100.乙系

2、60,丙系40)代表会议共20席，按比例分配三个系分别为10、6、4席。老情况变为下列情况怎样分配才是最公平的，现因学生转系三系人数为103.63.34.(1)问20席该如何分配。(2)若增加21席乂如何分配。问题的分析：一、通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。H前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即:某单位席位分配数=某单位总人数比例X总席位如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数岀现小数,则先按席位分配数的整数分配席位，余下席位按所有参与席位分配单位中小数的人小依次分配Z。这样最初学生人数及学生代表席位为系名甲乙丙总数学生数100604020

3、0学生人数比例100/20060/20040/200席位分配106420学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为系名甲乙丙总数学生数1036334200学生人数比例103/20063/20034/200按比例分配席位10.36.33.420按惯例席位分配106420(1)20席应该甲系10席、乙系6席，丙系4席这样分配二、学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。重新按惯例分配席位，有系名甲乙丙总数学生数1036334200学牛人数比例103/20063/20034/200按比例分配席位10.8156.6153.5721按惯例席位分配117321这个分配结杲出现增加一

4、席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。要怎样才能公平呢，这时就要用数学建模要解决。模型的建立:假设由两个单位公平分配席位的情况，设单位人数席位数每席代表人数单位APini单位BP2n2几2PlP2要公平，应该有"1二化，但这一•般不成立。注意到等式不成立时有"1P2若"1>"2，则说明单位A吃亏（即对单位A不公平）£1_P2_若勺<"2，则说明单位B吃亏（即对单位B不公平）因此可以考虑用算式p亠上來作为衡量分配不公平程度，不过此公式有71]n2不足Z处（绝对数的特点），女某两个单位的人数和席位为=n2=10,门=120,“2=100,算得p=2另两个单

5、位的人数和席位为ri]=«2=10，Pi=1020,”2=1000,算得p=2虽然在两种情况下都有卩=2,但显然第二种情况比第一种公平。下面采用相对标准，对公式给予改进，定义席位分配的相对不公平标准公式:若P＞几PiPi则称n{n2=皿2iP2ni为对A的相对不公平值，记为Pj斤2)A_若Pl<"2则称n2®M1为对B的相对不公平值，记为5n2PlPlfhn兀2)由定义有对某方的不公平值越小，某方在席位分配中越有利，因此可以用使不公平值尽量小的分配方案来减少分配中的不公平。确定分配方案:"1卩2PP21.ri[+1>"2PlP22./?]+1/?2+1

6、P1P24.®"2+1，不可能，说明此一席给A后，对A还不公平;P2P，说紫悅匚舊篡△诟，对竄还伽公陥汴伞平值为Pltl[+1Pl__P2使用不公平值的大小垄确饉分配方案，不妨设勺＞"2,即对单位A不公平,再分配一个席位时，关于"1,"2的关系可能有，说閒吒韦甥亂助辰砒A还如问旳公『值为'P2P2'n«2+1上面的分配方法在第1和第3种情况可以确定新席位的分配，但在第2种情况时不好确定新席位的分配。用不公平值的公式来决定席位的分配，对于新的席位分配，若有rB（Hj+1,n2）＜匚（®,兀2+1）则增加的一席应给A,反之应给B。对不等式rB（ni+l,H2）vrA（m,n2+l

7、）进行简单处理，可以得出对应不等式PlP2（n2+1）®（仙+1）引入公式5k+叭于是知道增加的席位分配可以由©的最大值决定，且它可以推广到多个组的一般情况。用Qk的最大值决定席位分配的方法称为Q值法。对多个组（加个组）的席位分配Q值法可以描述为：1.先计算每个组的Q值：Qk,k=,2,…,m2.求出其中最大的q值a（若有多个最大值任选其中一个即可）3.将席位分配给最大q值a对应的第组。模型的求解：先按应分配的整数部分分配，余下的部分按Q值分配。本问题的整数名额共分配了19