天津市南开中学2016届高三下学期第四次月考数学(文)试题

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1、第Ⅰ卷一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内,复数对应的点的坐标为()A.B.C.D.2.已知命题,则为()A.B.C.D.3.函数的零点一定位于区间()A.B.C.D.4.执行如图所示的程序框图,如果运行结果为,那么判断框中应填入()A.B.C.D.5.如图,是⊙的直径,是弦,的平分线交⊙于点,,交的延长线于点,于点,且,.在上述条件下,给出下列四个结论:①;②;③;④,则所有正确结论的序号是()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④6.函数的部分图象如图所示,则的单调递增区间为

2、()A.B.C.D.7.已知是定义在上的函数,对任意两个不相等的正数,都有,记,则A.B.C.D.8.已知函数,若关于的不等式的解集中的整数恰有个,则实数的取值范围为()A.B.C.D.第Ⅱ卷二、填空题(每题5分,满分30分,将答案填在答题纸上)9.已知集合,,则_______.10.某高中学校共有学生名,各年级男女学生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取名,抽到高二女生的概率是.高一年级高二年级高三年级女生324x280男生316312y现用分层抽样的方法,在全校抽取名学生,则应在高三抽取的学生人数为_____.11.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是

3、______.的准线上,则双曲线的方程为______.14.如图,等腰三角形,.分别为边上的动点,且满足,其中,分别是的中点,则的最小值为______.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分13分)某旅行社租用两种型号的客车安排名客人旅行,两种车辆的载客量分别为人和人,租金分别为元/辆和元/辆,旅行社要求租车总数不超过辆,且型车不多于型车辆,则如何安排才能使租金最少,最少租金为多少?16.(本小题满分13分)在中,内角所对的边分别是,已知.(1)求和的值;(2)求的值.17.(本小题满分13分)如图,梯

4、形中,分别是的中点,矩形所在的平面与所在的平面互相垂直,且.(1)证明:平面;(2)证明:平面;(3)若二面角为,求直线与平面所成角的大小.18.(本小题满分13分)在等比数列中,,成等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,的前项和为,求使成立的正整数的最大值.19.(本小题满分14分)已知椭圆的左顶点为,右焦点为,过点作垂直于轴的直线交该椭圆于两点,直线的斜率为.(1)求椭圆的离心率;(2)若的外接圆在处的切线与椭圆交于另一点,且的面积为,求该椭圆方程.20.(本小题满分14分)设函数.(1)当时,求函数的单调区间;(2)令,其图象上任意一点处切线

5、的斜率恒成立,求实数的取值范围;(3)当时,令,若与的图象有两个交点,求证:.天津市南开中学2016届高三第四次月考数学(文)参考答案一、选择题ADBCBBDB二、填空题9.10.11.12.13.14.三、解答题15.解:设租用型车辆,租用型车辆.所用租金元,则,满足,化简得,作出可行域如图所示目标函数,变形为,当经过可行域上的点时,截距最小,即最小,16.解:(1)由余弦定理,,∴,∴,∴或(舍),∴.,由正弦定理,∴.(2).17.证明:(1).(2)取中点,连接,.(3).由(1)知,中,,,∴,∴,∴与平面成角.18.解:(1)设数列的公比为,∴,∴,

6、∴,∴,∴.(2)①,②,①-②得,,∴.①中令,∴不符合上式.∴.∴当时,③,④,③-④得,∴.当时,,符合上式,∴.,∴,即,∴,∴的最大值为.19.解:(1),∴,∴,∴.(2),∴,∴椭圆方程为,,,设外接圆圆心,由得,整理得,∴,∴,∴,∴切线斜率,∴切线方程为,即,代入椭圆方程消得,,,∴,点到的距离,由得,∴,所以椭圆方程为.20.解:(1),定义域,,令,解得,令,解得,∴的单增区间为,单减区间为.(2),,∴,即,令,∴在上单调递增,∴,∴,∴.(3),定义域,∴①,②,①+②得,即,③②-①得,即,④由③④得,不妨设,记,令,∴,∴在上单调递

7、增,∴,∴,即,∴,∴,∴,即,令,∴,∴在上单调递增.又,∴,即,∴,∴.

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