含30°角的直角三角形的性质 (3)

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1、第2课时含30°角的直角三角形的性质教学目标（一）知识与技能掌握含30°角的直角三角形的性质与应用。（二）能力训练要求通过探究含30°角的直角三角形的性质，增强学生对特殊直角三角形的认识，培养学生分析问题、解决问题的能力。（三）情感与价值观要求1．鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲。2．体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性。教学重点含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明。教学难点1．含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明。2．引导学生全面、周到地思考问题。教学方法探索发现法、讲练相结合教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境我们学习过直角三

2、角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质．大家可能已猜到，我让大家准备好的含30°角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？Ⅱ．导入新课用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．-5-其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD≌△ACD，所以AB=AC，又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等

3、腰三角形是等边三角形．图（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC是等边三角形．由此能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？你能证明它吗？定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB．分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°．延长BC至D，使CD=

4、BC，连接AD（如下图）∵∠ACB=60°，∴∠ACD=90°．∵AC=AC，-5-∴△ABC≌△ADC（SAS）．∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．∴BC=BD=AB．练习1　如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，则BC的长为．ABCABCD练习2　如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．则BD=.[师]这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看一个例题．[例5]右图

5、是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？分析：观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=AD，BC=AB，又由D是AB的中点，所以DE=AB．解：因为DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，由定理知BC=AB，DE=AD，所以BD=×7.4=3.7（m）．-5-又AD=AB，所以DE=AD=×3.7=1.85（m）．答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m．[例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．已知：如图，在△ABC中，A

6、B=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．求：CD的长．分析：观察图形可以发现，在Rt△ADC中，AC=2a，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，可求出CD．解：∵∠ABC=∠ACB=15°，∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°．∴CD=AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．[师]下面我们来做练习．Ⅲ．随堂练习P81Ⅳ．课时小结这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要

7、的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．Ⅴ．课后作业P92第7、11题Ⅵ．活动与探究-5-在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．过程：可以从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”．从辅助线的作法中得到启示．结果：已知：如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．求证：∠BAC=30°．证明：延长BC到D，使CD=BC，连结AD．∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．又∵AC=AC，∴△ACB≌△ACD（SAS）．∴AB=AD．∵CD=BC，∴BC=BD．又∵BC=AB

8、，∴AB=